Kezdőlap


Feladat:	1152. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bleyer Jenő , Bleyer L. , Bulkay Lajos , Deák András , Fehérváry Ákos , Grosz László , Iróffy O. , Jakab Károly , Kovács Mátyás , Lipsitz Imre , Matolcsy Kálmán , Sándor Gyula , Steiner Iván , Vásárhelyi Nagy Sándor
Füzet:	1937/április, 237 - 238. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú függvények, Paraméteres egyenletek, Függvényvizsgálat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/február: 1152. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . $y$ az $x$ -nek oly másodfokú függvénye, melyben $x^{2}$ együtthatója pozitív; tehát oly $G_{λ}$ parabola felel meg neki, melynek csúcspontja a görbe alsó tetőpontja, főtengelye az $Y$ -tengellyel párhuzamos. Ha a függvényt

\begin{matrix} y = {(x - λ)}^{2} + a^{2} - λ^{2} \end{matrix}

alakban írjuk, világosan látjuk, hogy a görbe csúcspontja az

x = λ

y = a^{2} - λ^{2}

koordinátához tartozik.

2^{0}

. Ha

λ = 0

, akkor a görbe csúcspontjának koordinátái

x = 0

y = a^{2}

.
A csúcspont az

Y

-tengelynek szilárd pontja; a görbe főtengelye az

Y

-tengely. Ha

λ > 0

, akkor a csúcspont az

Y

-tengelytől jobbra, ha

λ < 0

, balra van. Ha

λ

abszolút értéke ugyanaz, de előjele ellenkező, akkor az

Y

-tengelyre nézve két, szimmetrikus helyzetű parabolát kapunk. (A csúcspont ordinátája ugyanaz marad.) Az összes görbék keresztülmennek az

(A)

x = 0

y = a^{2}

ponton.

3^{0}

. A görbe akkor metszi az

X

-tengelyt, ha csúcspontja az

X

-tengely alatt van ill. a csúcspont ordinátája

\begin{matrix} a^{2} - λ^{2} < 0, ha λ^{2} > a^{2}, | λ | > a . \end{matrix}

Minthogy az

x^{2} - 2 λ x + a^{2} = 0

egyenlet gyökeinek szorzata pozitív, a gyökök megegyező előjelűek, tehát a metszéspontok az

Y

-tengely ugyanazon oldalán feküsznek; ha

λ > 0

, akkor az

Y

-tengelytől jobbra, ha

λ < 0

, akkor balra.
Ha

| λ | = a

, akkor a görbe érinti az

X

-tengelyt. (Csúcspontja az

X

-tengelyen fekszik.)

4^{0}

. A csúcspontot meghatározzák az

x = λ

y = a^{2} - λ^{2}

koordináták, tehát ezek között az

\begin{matrix} y = a^{2} - x^{2} \end{matrix}

összefüggés áll fenn. Eszerint a szóbanforgó parabolák csúcspontjai ugyancsak egy

G

parabolát írnak le, melynek csúcspontja az

(x = 0

y = a^{2})

pont és ez a görbe felső tetőpontja.

Deák András (Érseki rg. V. o. Bp. II.)