Kezdőlap


Feladat:	1151. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bagdy Dániel , Dudás Imre , Fehérváry Ákos , Grosz László , Halász Iván , Jakab Károly , Joó Endre , Steiner Iván , Tóth B.
Füzet:	1937/április, 237. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Mértani középtételek derékszögű háromszögekben, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/február: 1151. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A D = x$ . Ekkor $A C = \frac{x^{2}}{2 R}$ .^{$^{*}$}
Eszerint az

\begin{matrix} x + \frac{x^{2}}{2 R} = l ill. x^{2} + 2 R x - 2 R l = 0 \end{matrix}

egyenletet kell megoldanunk. Ezen egyenletnek mindig vannak valós gyökei, még pedig ellenkező előjelűek. Közülük csak a pozitív felelhet meg, t. i.

\begin{matrix} x = \sqrt[]{R^{2} + 2 R l} - R . \end{matrix}

Azonban ezen

x

érték csak akkor felelhet meg, ha

2 R

-nél nem nagyobb; tehát kell, hogy legyen

\begin{matrix} \sqrt[]{R^{2} + 2 R l} \leq 3 R, vagyis 2 R l \leq 8 R^{2}, tehát l \leq 4 R . \end{matrix}

l = 4 R

, akkor

x = 2 R

, azaz

A D = A C = 2 R

Steiner Iván (Toldy Ferenc r. V. o. Bp. II.)

Jegyzet. Ha

D

végigfut az

\hat{A B}

félköríven

A

-tól

B

-ig, akkor

A D

és

A C

mindegyike növekedik

0

-tól

4 R

-ig, összegük

0

-tól

4 R

-ig, úgy, hogy ezen közben minden értéket egyszer és csak egyszer vesz fel. (Vizsgálja meg az olvasó az

\begin{matrix} y = \frac{x^{2}}{2 R} + x \end{matrix}

függvény változását és ábrázolja

x = 0

-tól

x = 2 R

-ig.)

^{$^{*}$}Ugyanis ‐ Euklides tételével ‐

\bar{A D^{2}} = \bar{A B} \cdot \bar{A C}