Kezdőlap


Feladat:	1150. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Amigó György , Baán Sándor , Bagdy Dániel , Bleyer Jenő , Bleyer L. , Danciger E. , Deák András , Dudás Imre , Fehérváry Ákos , Fekete András , Fonó Péter , Freud Géza , Füsz János , Grosz László , Hajnal Miklós , Halász Iván , Halmai T. , Havas I. , Iróffy O. , Joó Endre , Klein József , Kovács Mátyás , Laub György , Lipsitz Imre , Matolcsy K. , Perl I. , Sándor Gyula , Sebők László , Sommer György , Steiner Iván , Száva I. , Szendi J. , Vásárhelyi Nagy Sándor
Füzet:	1937/április, 236. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/február: 1150. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . A $2)$ egyenletből: $\frac{x + y}{x y} = \frac{1}{b}$ , tehát $x y = a b$ .

Eszerint $x$ és $y$ az

\begin{matrix} u^{2} - a u + a b = 0 ... \end{matrix}

(3)

egyenlet gyökei. Ezek valósak akkor, ha

\begin{matrix} a^{2} - 4 a b = a (a - 4 b) ≧ 0. \end{matrix}

Tehát, ha

a > 0

, kell, hogy

b ≦ \frac{a}{4}

legyen.
Ha

a < 0

, akkor pedig kell, hogy

b ≧ \frac{a}{4}

legyen.
(Összefoglalólag úgy fejezhetjük ki, hogy

b

és

0

\frac{a}{4}

ugyanazon oldalán legyenek.)
Az egyenletrendszert kielégítő értékpárok:

\begin{matrix} x = u_{1,2} = \frac{1}{2} [a \pm \sqrt[]{a (a - 4 b)}], y = u_{2,1} = \frac{1}{2} [a \mp \sqrt[]{a (a - 4 b)}] . \end{matrix}

2^{0}

. Ha

x = 3 y

, akkor egyrészt

x + y = 4 y = a

, másrészt

x y = 3 y^{2} = a b

ill.

3 y^{2} - a b = 0

.
Minthogy

\begin{matrix} y = \frac{a}{4}, 3 \cdot \frac{a^{2}}{16} - a b = 0, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} a (3 a - 16 b) = 0. \end{matrix}

a = 0

esetet kizárhatjuk, mert ekkor

x = y = 0

és így

3 a - 16 b = 0

a keresett összefüggés

a

és

b

között.
Valóban, ha

\begin{matrix} b = \frac{3 a}{16}, akkor a - 4 b = a - \frac{3}{4} a = \frac{a}{4} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} [a + \sqrt[]{\frac{a^{2}}{4}}] = \frac{3 a}{4}, y = \frac{1}{2} [a - \sqrt[]{\frac{a^{2}}{4}}] = \frac{a}{4} . \end{matrix}

Joó Endre (Bencés g. VI. o. Kőszeg.)