Feladat: 1148. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bagdy Dániel ,  Czipott Zoltán ,  Fehérváry Ákos ,  Fekete András ,  Fonó Péter ,  Freud Géza ,  Füsz János ,  Grosz László ,  Grünfeld Sándor ,  Hajnal Miklós ,  Halász Iván ,  Jakab Károly ,  Joó Endre ,  Klein József ,  Laub György ,  Margulit György ,  Matolcsy Kálmán ,  Sándor Gyula ,  Sommer György ,  Steiner Iván ,  Szendi J. ,  Tóth B. ,  Vásárhelyi Nagy Sándor ,  Weszele T. 
Füzet: 1937/április, 233 - 234. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Legnagyobb közös osztó, Legkisebb közös többszörös, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1937/február: 1148. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Jelentse d a keresett A és B számok legn. k. osztóját és m a legkisebb k. többszörösét, tehát

A=daésB=db,aholaésbrelatív prímszámok és ígym=abd.

Adataink szerint: A+B=(a+b)d=581 és md=ab=240.
Már most 581=7⋅83, úgy hogy lehetséges
a+b=7,a+b=83,a+b=581.

Az a+b=7 eset kizárható, mert ab=240. (Ugyanis, ha a+b=7, akkor az ab szorzat értéke legfeljebb (72)2=494 lehet.)
Eszerint két esetet kell megvizsgálnunk.
 

I. a+b=83 és ab=240. Ekkor a és b az u2-83u+240=0 egyenlet gyökei. Ezek pedig: 80 és 3, valóban egész számok. Ebben az esetben:
d=58183=7ésA=7⋅80=560,B=7⋅3=21.
 

II. a+b=581 és ab=240. Most a és b a v2-581v+240=0 egyenlet gyökei. Ezek azonban nem egész számok.
Feladatunknak eszerint csak egy megoldása van:
A=560,B=21.

Margulit György (Bolyai r. VI. o. Bp. V.)

 

II. Megoldás. Kiindulhattunk volna abból is, hogy ab=240, azaz 240-et oly két tényezőre kell bontanunk, amelyek relatív prímek. Minthogy 240=24⋅3⋅5, a felbontás relatív prímtényezőkre:
1és240.,24=16és15,3és80,5és48.

Eszerint
a+bértéke:240,31,83,53.

Azonban a+b osztója 581-nek; a négy érték közül csak 83 osztója 581-nek, úgy hogy
d=58183=7 és így a keresett számok: 7⋅3, ill. 7⋅80.
 
 Matolcsy Kálmán (Faludi Ferenc g. V. o. Szombathely.)