Feladat: 1147. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Amigó György ,  Bagdy Dániel ,  Bleyer Jenő ,  Bleyer L. ,  Danczinger E. ,  Dudás Imre ,  Fehérváry Ákos ,  Fekete András ,  Fonó Péter ,  Freud Géza ,  Frey E. ,  Grosz László ,  Grünfeld Sándor ,  Hajnal Miklós ,  Halász Iván ,  Havas I. ,  Jakab Károly ,  Joó Endre ,  Juhász Kató ,  Klein József ,  Kovács Mátyás ,  Lipsitz Imre ,  Perl I. ,  Sándor Gyula ,  Sommer György ,  Steiner Iván ,  Vásárhelyi Nagy Sándor 
Füzet: 1937/április, 232 - 233. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Maradékos osztás, Legnagyobb közös osztó, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1937/február: 1147. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. 10. Az adott összefüggések

a=a'λ,b=b'λ,c=c'λ
alakban írhatók. Már most
ha*
a-bq=c,akkor(a'-b'q)λ=c'λ,
azaz
a'-b'q=c'.

Azonban c<b; mivel pedig bb'=cc', azért cb=c'b'<1, azaz c' tényleg maradék akkor, midőn b'-t osztjuk a'-vel.
20. Ha a és b relatív prímszámok, található két egész szám, α és β, úgy,
hogy
aα-bβ=1.
Minthogy
aα-bβ=(a'α-b'β)λ,
ezért
aα-bβa'α-b'β=λ=cc',ill.1a'α-b'β=cc'
tehát
c'=c(a'α-b'β),
azaz c' a c többszöröse.
 

II. Megoldás. 20. Ha a és b relatív prímek, ab=a'b'. Ebből következik, hogy a' és b' ugyanolyan többszörösei a-nak és b-nek, azaz a'=ma és b'=mb és így (az eredeti összefüggésből keletkezik) 1m=1m=cc', tehát c'=cm.
Eszerint c' ugyanolyan többszöröse c-nek, mint a' az a-nak, ill. b' a b-nek,
*a-t osztva b-vel, a hányados q, a maradék r=c és c<b.