Kezdőlap


Feladat:	1141. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bagdy Dániel , Czipott Zoltán , Dudás Imre , Fehérváry Ákos , Fekete András , Füleky Lajos , Hahn István , Hajnal Miklós , Jakab Károly , Joó Endre , Klein J. , Kondor A. , Lixl E. , Németh E. , Steiner Iván , Szilárd Rezső , Szőllőssy Nóra , Szűcs F. , Tornai Jenő , Varga Zoltán , Vásárhelyi Nagy Sándor , Vecsés J. , Weszele T.
Füzet:	1937/március, 200. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/január: 1141. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $1^{0} .$ A keresett egyenlet legyen: $x^{2} + p x + q = 0$ , ahol tehát

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - p és x_{1} x_{2} = q . \end{matrix}

Ennek tekintetbevételével 1)-ből és 2)-ből

\begin{matrix} - p + 2 q & = 2 m + k ... & (1a) \\ p + q + 1 & = m + 1 - k ... & (2a) \end{matrix}

Innen:

\begin{matrix} 3 q = 3 m, azaz q = m és így p = - k . \end{matrix}

A keresett egyenlet:

\begin{matrix} x^{2} - k x + m = 0 ... \end{matrix}

(3)

Ezen egyenlet gyökei valósak, ha

k^{2} \geq 4 m

2^{0} .

x_{1} - x_{2} = 1

, akkor, mivel

x_{1} + x_{2} = k

\begin{matrix} x_{1} = \frac{1 + k}{2} és x_{2} = \frac{k - 1}{2}, x_{1} x_{2} = \frac{k^{2} - 1}{4} . \end{matrix}

Azonban

x_{1} x_{2} = q = m

, tehát

k^{2} - 1 = 4 m, k^{2} > 4 m

3^{0} .

Az előbbi szerint

k^{2} = 4 m + 1

. Ha ezenkívül még

k - m = 1

, azaz

k = m + 1

, akkor

\begin{matrix} {(m + 1)}^{2} = 4 m + 1 és így m^{2} - 2 m = m (m - 2) = 0. \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} m_{1} = 0 és k_{1} = 1, ill. m_{2} = 2 és k_{2} = 3. \end{matrix}

k_{1} = 1

esetében

\begin{matrix} x_{1} = 1 és x_{2} = 0. \end{matrix}

k_{2} = 3

esetében

\begin{matrix} x_{1} = 2 és x_{2} = 1. \end{matrix}

Varga Zoltán (Bencés g. VI. o. Kőszeg.)