Kezdőlap


Feladat:	1140. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Amigó György , Andreánszky Piroska , Baán Sándor , Bagdy Dániel , Bán T. , Biró I. , Bleyer Jenő , Bleyer L. , Bulkay Lajos , Csurgay J. , Czipott Zoltán , Czuczy Gy. , Danciger E. , Deák András , Dudás Imre , Fehérváry Ákos , Fekete András , Füleky Lajos , Förstner György , Grosz László , Grünfeld Sándor , Guttmann A. , Győrffy Ilona , Hahn István , Hajnal Miklós , Halász Iván , Havas I. , Inczédy Anna , Iróffy O. , Jakab Károly , Joó Endre , Katz M. , Klein József , Koch Irmgard , Kondor A. , Lénárd Ágnes , Lendvai József , Lichner A. , Lipsitz Imre , Luxl E. , Mikla B. , Miklós A. , Németh E. , Róth Pál , Sándor Gyula , Sommer György , Steiner Iván , Szádeczky-Kardoss B. , Szántó Á. , Száva I. , Székely Z. , Szilárd Rezső , Szőllősi Gy. , Szőllőssy Nóra , Szücs F. , Tassonyi Kenéz , Tornai Jenő , Tóth Béla , Varga Zoltán , Vásárhelyi Nagy Sándor , Vértessy Lajos , Weisz R.
Füzet:	1937/március, 199 - 200. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/január: 1140. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy $x y$ szorzat értéke ismeretes, célunk $x + y = z$ kiszámítása. 1)-ből

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} - 2 x y + (x + y) = 50, tehát z^{2} + z - 90 = 0 ... \end{matrix}

(3)

A (3) egyenlet gyökei:

z_{1} = \frac{- 1 + \sqrt[]{361}}{2} = 9

és

z_{2} = \frac{- 1 - \sqrt[]{361}}{2} = - 10

Eszerint

x

és

y

két másodfokú egyenlet gyökei.

I. Ha

x + y = z_{1} = 9

és

x y = 20

, akkor

x

és

y

kielégítik a köv. egyenletet:

\begin{matrix} u^{2} - 9 u + 20 = 0 és innen u_{1} = 5, u_{2} = 4. \end{matrix}

Így

\begin{matrix} x = 5 és y = 4 vagy x = 4 és y = 5. \end{matrix}

II. Ha

x + y = - 10, x y = 20

, akkor

\begin{matrix} v^{2} + 10 v + 20 = 0 és innen v_{1} = - 5 + \sqrt[]{5}, v_{2} = - 5 - \sqrt[]{5} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} x = v_{1}, és y = v_{2} vagy x = v_{2} és y = v_{1} . \end{matrix}

Egyenletrendszerünket 4 értékpár elégíti ki:

\begin{matrix} x & 5 & 4 & - 5 + \sqrt[]{5} & - 5 - \sqrt[]{5} \\ y & 4 & 5 & - 5 - \sqrt[]{5} & - 5 + \sqrt[]{5} . \end{matrix}

(Az összetartozó

(x, y)

értékpárok egymás alatt állnak.)

Förstner György (áll. Bólyai r. VI. Bp. V.)