Kezdőlap


Feladat:	1139. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Amigó György , Andreánszky Piroska , Baán Sándor , Bagdy Dániel , Bálint Lívia , Bán Tibor , Biró I. , Bleyer Jenő , Bleyer L. , Bodnár J. , Bolgár Imre , Bulkay Lajos , Cs. Varga I. , Csurgay J. , Czeisler Gy. , Czipott Zoltán , Czuczy Gy. , Danciger E. , Dudás Imre , Elek Gy. , Farkas F. , Fehér T. , Fehérváry Ákos , Fekete András , Fodor Pál , Füleky Lajos , Förster György , Grosz I. , Grosz László , Grünfeld Sándor , Guttmann A. , Győrffy Kornélia , Hajnal Miklós , Halász Iván , Halmai T. , Havas I. , Holnapy K. , Inczédy Anna , Iróffy O. , Jakab Károly , Joó Endre , Karczag P. , Katz M. , Keszler L. , Kisrákói Gy. , Klein József , Koch Irmgard , Kovalóczy Gy. , Lénárd Ágnes , Lendvay József , Lichner A. , Lipsitz Imre , Luxl E. , Margulit György , Mikla B. , Miklós A. , Monath Ferenc , Náray L. , Németh E. , Osim I. , Perl I. , Petrovics J. , Reskovits Á. , Róka Ede , Rosenfeld E. , Róth Pál , Rubistein Gy. , Sághi Z. , Sándor Gyula , Sommer György , Steiner Iván , Száva I. , Szilárd Rezső , Szőllősi Gy. , Szőllőssy Nóra , Szűcs F. , Tassonyi Kenéz , Tornai Jenő , Tóth Béla , Varga Zoltán , Vásárhelyi Nagy Sándor , Vass L. , Vecsés J. , Vértessy Lajos , Weisz László , Weisz Rezső , Weszele T. , Windisch A. , Zöllner Gy.
Füzet:	1937/március, 197 - 199. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, A komplex szám algebrai alakja, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/január: 1139. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletben szereplő négyzetgyökök megállapodás szerint mindig csak egy értéket, a pozitívet jelentik. Négyzetre emelve mindkét oldalon:

\begin{matrix} 2 x + 3 + 5 x + 1 + 2 \sqrt[]{(2 x + 3) (5 x + 1)} = 12 x + 13. \end{matrix}

Összevonás után:

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{(2 x + 3) (5 x + 1)} = 5 x + 9 ... \end{matrix}

(1)

Hangsúlyozva azt, hogy

5 x + 9 > 0

, ismét négyzetre emelünk:

\begin{matrix} 40 x^{2} + 68 x + 12 = 25 x^{2} + 90 x + 81 ill. 15 x^{2} - 22 x - 69 = 0 ... \end{matrix}

(2)

Ezen egyenlet discriminánsa:

4 (121 + 69 \cdot 15) = 4 \cdot 1156 = {(2 \cdot 34)}^{2}

.
A (2) gyökei:

\begin{matrix} x_{1} = \frac{22 + 68}{30} = 3, x_{2} = \frac{22 - 68}{30} = - \frac{23}{15} . \end{matrix}

Meg kell vizsgálnunk, kielégítik-e ezen értékek az eredeti irracionális egyenletet?

x_{1} = 3

megfelel az

5 x + 9 > 0

feltételnek és azon követelménynek is, hogy az eredeti egyenletben a négyzetgyök jel alatt álló kifejezéseket is pozitívvá teszi:

\begin{matrix} \sqrt[]{2 \cdot 3 + 3} = \sqrt[]{9} = + 3, \sqrt[]{5 \cdot 3 + 1} = \sqrt[]{16} = + 4, \sqrt[]{12 \cdot 3 + 13} = \sqrt[]{49} = + 7. \end{matrix}

Valóban

\begin{matrix} 3 + 4 = 7. \end{matrix}

x_{2} = - \frac{23}{15}

megfelel az

5 x + 9 > 0

feltételnek, azonban az eredeti egyenletben a négyzetgyökjel alatti kifejezések negatív értékűek:

\begin{matrix} 2 x_{2} + 3 = - \frac{1}{15}, 5 x_{2} + 1 = - \frac{100}{15}, 12 x_{2} + 13 = - \frac{81}{15} . \end{matrix}

A négyzetgyökök eszerint képzetesek és mivel

\begin{matrix} - i \sqrt[]{\frac{1}{15}} + 10 i \sqrt[]{\frac{1}{15}} = 9 i \sqrt[]{\frac{1}{15}} ... \end{matrix}

(3)

x_{2}

\begin{matrix} - \sqrt[]{2 x + 3} + \sqrt[]{5 x + 1} = \sqrt[]{12 x + 13} ... \end{matrix}

(4)

egyenletet elégíti ki. (

x_{2}

idegen gyök!)

Jakab Károly (kath. gimn. VI. o. magántanuló Kalocsa).

Jegyzet. Több ízben rámutattunk arra, hogy a négyzetgyökös irracionális egyenletből a négyzetreemelés által oly racionális egyenlethez jutunk, amelynek gyökei nem gyökei feltétlenül az eredeti egyenletnek. Ezért minden egyes esetben behelyettesítéssel meg kell győződnünk, hogy a kapott gyök-értékek kielégítik-e az eredeti egyenletet. Megállapíthatjuk továbbá, hogy az idegen gyök mely egyenletnek gyöke?
Ha arra gondolunk, hogy egyenletünket grafikus úton is oldjuk meg, akkor

\begin{matrix} \sqrt[]{2 x + 3}, \sqrt[]{5 x + 1}, \sqrt[]{12 x + 13} \end{matrix}

csak valós értékeket jelenthetnek, tehát kell, hogy legyen

\begin{matrix} 2 x + 3 \geq 0, 5 x + 1 \geq 0, 12 x + 13 \geq 0, \end{matrix}

azaz az

x \geq - \frac{3}{2}

x \geq - \frac{1}{5}

x \geq - \frac{13}{12}

feltételeket kell kielégítenünk. Ez megtörténik, ha

x \geq - \frac{1}{5}

.
Ebből a szempontból tehát a megoldásban szereplő 4) egyenletnek nincs jelentősége.
Nehány megoldásban azon állítás szerepel, hogy ,,mivel az eredeti egyenlet elsőfokú, csak egy megoldása lehet.'' Ha az egyenletben

x

-nek törtfüggvénye vagy irracionális függvénye szerepel, nem beszélünk fokszámról.
Előfordult egyes megoldásokban a következő igazolása annak, hogy

x_{2} = - \frac{23}{15}

is kielégíti az egyenletet. Helyettesítve ugyanis ezen értéket az eredeti egyenletbe, keletkezik:

\begin{matrix} \sqrt[]{- \frac{1}{15}} + \sqrt[]{- \frac{20}{3}} = \sqrt[]{- \frac{27}{5}} . \end{matrix}

Idáig helyes. Négyzetre emelve, valóban:

- \frac{1}{15} + 2 \sqrt[]{\frac{20}{45}} - \frac{20}{3} = - \frac{27}{5}

.
Itt két hiba van. Először: ha

a = b

, akkor

a^{2} = b^{2}

. De ha

a^{2} = b^{2}

, abból

a = \pm b

következik.
Másodszor:

\begin{matrix} \sqrt[]{- \frac{1}{15}} = i \sqrt[]{\frac{1}{15}}, \sqrt[]{- \frac{20}{3}} = i \sqrt[]{- \frac{20}{3}}, \end{matrix}

tehát szorzatuk:

\begin{matrix} i^{2} \sqrt[]{- \frac{20}{45}} = - \sqrt[]{\frac{20}{45}} . \end{matrix}

Más szóval: a négyzetgyökök szorzásának azon szabálya, amely szerint ,,gyökjel alatt szorzunk'', nem érvényes akkor, ha a négyzetgyökök imaginárius számokat jelentenek.