Feladat:	1138. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Amigó György ,  Baán Sándor ,  Bleyer Jenő ,  Bulkay Lajos ,  Czuczy Gy. ,  Danciger E. ,  Erőd Márta ,  Fehérváry Ákos ,  Fonó Péter ,  Füleky Lajos ,  Grosz László ,  Grünfeld Sándor ,  Guttmann A. ,  Halász Iván ,  Havas I. ,  Iróffy O. ,  Jakab Károly ,  Joó Endre ,  Katz M. ,  Klein József ,  Lendvai József ,  Lipsitz Imre ,  Mikla B. ,  Miklós A. ,  Róth Pál ,  Sommer György ,  Steiner Iván ,  Szilárd Rezső ,  Szűcs F. ,  Tornai Jenő ,  Vásárhelyi Nagy Sándor ,  Weisz László ,  Werner F.
Füzet:	1937/március, 196 - 197. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatvány számjegyei, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/január: 1138. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     A 4. sorban álló négyjegyű szám legfeljebb $2\cdot 99\cdot 9<2000$; $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccccccc}{\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">I.</span>}\phantom{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">II.</span>}\phantom{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">III.</span>}\phantom{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">IV.</span>}\phantom{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">V.</span>}\phantom{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">VI.</span>}\phantom{5}}\hfill \\ {\displaystyle 1.}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle 2.}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle A}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle 3.}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle 4.}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle 5}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle A}\hfill & \hfill {\displaystyle A}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle A}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill \end{array}}}\end{array}$ ezért a 4. sor első jegye, a II. oszlopban 1. Az II. oszlopban álló jegyek összege: $•+A+1+k=10+A$, ahol $k$ a III. oszlopban levő 3 számjegy összegében a tízesek száma, tehát vagy 2, vagy 1, vagy 0. Ha $k=2$ ill. $k=1$, akkor a II. oszlop első jegye 7, ill. 8; azonban az 1. sorban négyzetszám áll, ennek utolsó jegye nem lehet sem 7, sem 8. Eszerint csak $k=0$ lehetséges, úgy hogy az első sorban álló négyzetszám 9-re végződik és így ez $7^2=49$. A második oszlopban álló jegyek összege 1 tízest eredményez $\left(+A\right)$, úgy hogy $1+4=5=A$. A négyzetreemelés vázlatosan most már így írható fel. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccccccc}{\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">I.</span>}\phantom{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">II.</span>}\phantom{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">III.</span>}\phantom{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">IV.</span>}\phantom{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">V.</span>}\phantom{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">VI.</span>}\phantom{5}}\hfill \\ {\displaystyle 1.}\hfill & \hfill {\displaystyle 4}\hfill & \hfill {\displaystyle 0}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle 2.}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle 3.}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle 4.}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 1}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle 5}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill \end{array}}}\end{array}$ A második sorban $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\cdot 7\cdot x=14x}\end{array}$ áll, ahol $x$ az alapszám második jegye. Amint látjuk: $50<14x<60$, tehát $x=4$. Ennek alapján további kiegészítést eszközölhetünk a vázlatban. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccccccc}{\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">I.</span>}\phantom{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">II.</span>}\phantom{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">III.</span>}\phantom{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">IV.</span>}\phantom{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">V.</span>}\phantom{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \phantom{5}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">VI.</span>}\phantom{5}}\hfill \\ {\displaystyle 1.}\hfill & \hfill {\displaystyle 4}\hfill & \hfill {\displaystyle 9}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle 2.}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill & \hfill {\displaystyle 6}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle 3.}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 1}\hfill & \hfill {\displaystyle 6}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle 4.}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 1}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle 5}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill & \hfill {\displaystyle •}\hfill \end{array}}}\end{array}$ A 4. sorban $2\cdot 74\cdot y=148y$ áll, ha t. i. az alapszám harmadik jegye $y$. Minthogy $148y>1000$, azért $y\ge 7$. Az V. oszlop két jegyének összege azonban $<20$, tehát vagy 1 tízest eredményeznek vagy 1-et sem. Az első esetben a IV. oszlopban 6 alatt 8-nak, a második esetben 9-nek kell állania (hogy a IV. oszlop jegyeinek összege 15 legyen). Azonban $148\cdot 7=1036$, $148\cdot 8=1184$, $148\cdot 9=1132$ és így a IV. oszlopban 6 alatt 8-nak kell állania, azaz $y=8$. A keresett háromjegyű szám: 748.   Lendvai József (Ref. Baksay Sándor rg. VI. o. Kunszentmiklós).