Feladat:	1129. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Amigó György ,  Bagdy Dániel ,  Balogh Ilona ,  Bleyer Jenő ,  Bleyer L. ,  Czipott Zoltán ,  Dalmy Gy. ,  Danciger E. ,  Drescher Ilona ,  Dudás Imre ,  Erdősi N. ,  Fehérváry Ákos ,  Fekete András ,  Fodor P. ,  Füleky Lajos ,  Grosz I. ,  Grünfeld Sándor ,  Guttmann A. ,  Halász Iván ,  Havas I. ,  Joó Endre ,  Juhász Kató ,  Keszler L. ,  Klein József ,  Koch Irmgard ,  Lipsitz Imre ,  Mikla B. ,  Monath Ferenc ,  Niczay I. ,  Rubistein Gy. ,  Sommer György ,  Steiner Iván ,  Tóth Béla ,  Vass L. ,  Vértessy Lajos ,  Zlehovszky K.
Füzet:	1937/február, 168 - 169. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/december: 1129. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x-1}{2x+3}<\mathrm{2,}\text{ha}2-\frac{x-1}{2x+3}=\frac{3x+7}{2x+3}>0.}\end{array}$ Kell tehát, hogy $3x+7$ és $2x+3$ megegyező előjelűek legyenek, azaz $x$ értékei nem lehetnek $-\frac{3}{2}$ és $-\frac{7}{3}$ között, hanem $\begin{array}{c}{\displaystyle x<-\frac{7}{3}\text{vagy}x>-\frac{3}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Másrészt  $1<\frac{x-1}{2x+3}\mathrm{,}\text{ha}1-\frac{x-1}{2x+3}=\frac{x+4}{2x-3}<0$. Ezen egyenlőtlenség akkor van kielégítve, ha $x+4$ és $2x+3$ ellenkező előjelűek, tehát $-4<x<-\frac{3}{2}$.${}^{*}$ A két követelmény összeegyeztetéséből $-4<x<-\frac{7}{3}$. $\begin{array}{c}{\displaystyle \left[\text{Pl.}\text{ha}x=-\mathrm{3,}\text{akkor}1<\frac{-3-1}{-6+3}<2\text{vagyis}1<\frac{4}{3}<2.\right]}\end{array}$  Halász Iván (Berzsenyi Dániel rg., VI. o. Bp. V.)   Jegyzet. a) Helyesek azon megoldások, melyek az $\begin{array}{c}{\displaystyle y=\frac{x-1}{2x+3}}\end{array}$ függvény ábrázolásával kapcsolatban adnak feleletet a kérdésre. b) Azon dolgozatokban, melyek az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x-1}{2x+3}=1\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">és</span>}\frac{x-1}{2x+3}=2}\end{array}$ egyenletek megoldásával felelnek a kérdésre, csak azért jutnak helyes eredményre, mert az a) alatti függvény értéke $y=1$ és $y=2$ között $x$ növekedésével növekedik. Ezért lesz $\begin{array}{c}{\displaystyle x>-\mathrm{4,}\text{ill.}x<-\frac{7}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ c) Míg az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x-1}{2x+3}=\mathrm{1,}\text{ill.}\frac{x-1}{2x+3}=2}\end{array}$ egyenlet rendezésénél a nevezővel szorozhatunk, az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x-1}{2x+3}>\mathrm{1,}\text{ill.}\frac{x-1}{2x+3}<2}\end{array}$ egyenlőtlenség rendezésénél csak akkor szorozhatunk a nevezővel ‐ az egyenlőtlenség értelmének megváltozása nélkül ‐ ha a nevező pozitív. Azonban ezen esetben az $\begin{array}{c}{\displaystyle x<-4\text{és}x>-\frac{7}{2}}\end{array}$ össze nem férő eredményekhez jutunk. ${}^{*}$$x+4<0\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">és</span>}2x+3>0$ egyszerre nem lehetséges, csak $x+4>0\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">és</span>}2x+3<0$