Kezdőlap


Feladat:	1128. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bleyer Jenő , Bleyer L. , Bulkay Lajos , Dancinger E. , Grünfeld Sándor , Halász Iván , Havas I. , Jakab Károly , Klein József , Sommer György , Steiner Iván , Vásárhelyi Nagy Sándor
Füzet:	1937/február, 167 - 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Négyzetszámok összege, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/december: 1128. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . A számok képezésének törvénye szerint az $n$ -dik ilyen alakú szám:

\begin{matrix} a_{n} = (3 n - 2) (3 n - 1) + 3 n = 9 n^{2} - 6 n + 2 = {(3 n - 1)}^{2} + 1 = a^{2} + 1^{2}, \end{matrix}

azaz e számok mindegyike két négyzet összege.

2^{0}

. Már most szorozzunk két ilyen számot:

\begin{matrix} (a^{2} + 1) (b^{2} + 1) = a^{2} b^{2} + a^{2} + b^{2} + 1 = (a^{2} b^{2} \pm 2 a b + 1) + (a^{2} \mp 2 a b + b^{2}) = \\ = {(a b \pm 1)}^{2} + {(a \mp b)}^{2} . \end{matrix}

Tehát a számsor két tagjának szorzata két négyzet összege.

3^{0}

. Két négyzet összegét szorozva a számsor bármely tagjával, ismét két négyzetszám összegét nyerjük:

\begin{matrix} (x^{2} + y^{2}) (a^{2} + 1) = a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} + x^{2} + y^{2} = \\ = (a^{2} x^{2} \pm 2 a x y + y^{2}) + (a^{2} y^{2} \mp 2 a x y + x^{2}) = {(a x \pm y)}^{2} + {(a y \mp x)}^{2} . \end{matrix}

Ezáltal tételünket teljesen bebizonyítottuk.

Bleyer Jenő (izr rg., VI. o. Debrecen.)

Jegyzet. Általában érvényes, hogy

\begin{matrix} (a_{1}^{2} + b_{1}^{2}) (a_{2}^{2} + b_{2}^{2}) ... (a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) \end{matrix}

két négyzet összegeként írható fel. Ezt teljes indukcióval igazolhatjuk. (Jakab K.)