Kezdőlap


Feladat:	1121. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Amigó György , Andreánszky Piroska , Baán Sándor , Bagdy Dániel , Bartók László , Bleyer Jenő , Bleyer L. , Czipott Zoltán , Danczer E. , Dudás Imre , Fehérváry Ákos , Fekete András , Füleky Lajos , Garda G. , Grosz I. , Grosz László , Grünwald Sándor , Guttmann A. , Hajnal Miklós , Halász Iván , Halmai T. , Havas I. , Hohman Á. , Joó Endre , Keszler L. , Klein József , Kovalóczy Gy. , Kozma Gy. , Miklós A. , Nagy L. , Perl I. , Roth Pál , Rotter Éva , Sághi Z. , Sebők László , Sommer György , Steiner Iván , Székely Z. , Szilárd Rezső , Szűcs F. , Tassonyi K. , Tornai Jenő , Tóth I. , Vásárhelyi Nagy Sándor
Füzet:	1937/január, 142 - 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Számtani sorozat, Mértani sorozat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/november: 1121. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha három szám számtani haladványt alkot, akkor a középső a két szélső számtani közepe; mértani haladvány esetén a középső a két szélső mértani közepe. Eszerint

\begin{matrix} y^{2} & = x z ... & (1) \\ 2 (y + 8) & = x + z ... & (2) \\ {(y + 8)}^{2} & = x (z + 64) ... & (3) \end{matrix}

Az (1) tagjait kivonva a (3) megfelelő tagjaiból

\begin{matrix} 16 y + 64 = 64 x vagy y = 4 x - 4 ... \end{matrix}

(4)

y

ezen értékét (2)-be helyettesítve, rendezés és összevonás után keletkezik:

\begin{matrix} z = 7 x + 8 ... \end{matrix}

(5)

y

és

z

értékeit (4) ill. (5) szerint (1)-be helyettesítjük; lesz

\begin{matrix} {(4 x - 4)}^{2} = x (7 x + 8) ill. 9 x^{2} - 40 x + 16 = 0 ... \end{matrix}

(6)

Innen:

\begin{matrix} x_{1} = 4, x_{2} = \frac{4}{9} . \end{matrix}

x_{1} = 4

, akkor

y_{1} = 12

és

z_{1} = 36

.

Valóban:

4

12

36

mértani haladványt alkotnak; hányadosa

q = 3

4

20

36

számtani ,, ,, ; különbség

d = 16

4

20

100

mértani ,, ,, ; hányadosa

q = 5

.

Ha

x_{2} = \frac{4}{9}

, akkor

y_{2} = - \frac{20}{9}

és

z_{2} = \frac{100}{9}

.
Ezek is eleget tesznek a követelményeknek, mert

\begin{matrix} \frac{4}{9}, & - \frac{20}{9}, & \frac{100}{9} & mértani & haladványt & alkotnak; & a hányados & q = - 5. \\ \frac{4}{9}, & \frac{52}{9}, & \frac{100}{9} & számtani & ,, & ,, & a különbség & d = \frac{48}{9}. \\ \frac{4}{9}, & \frac{52}{9}, & \frac{676}{9} & mértani & ,, & ,, & a hányados & q = 13. \end{matrix}

Sebők László (Bencés g. V. o. Győr).