Kezdőlap


Feladat:	1119. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Amigó György , Andreánszky Piroska , Baán Sándor , Bácsi Z. , Bleyer Jenő , Bleyer L. , Czipott Zoltán , Danczinger E. , Fehérváry Ákos , Fodor P. , Füleky Lajos , Grosz I. , Grosz László , Grünwald Sándor , Guttmann A. , Hajnal Miklós , Halkai T. , Havas I. , Hohman Á. , Katz M. , Keszler László , Klein József , Miklós A. , Rotter Éva , Steiner Iván , Székely Z. , Tornai Jenő , Török M. , Varga Zoltán , Vass L. , Vecsés J. , Vértessy Lajos
Füzet:	1937/január, 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/november: 1119. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $a$ , $b$ , $c$ számok egyike sem zérus, az $x$ , $y$ , $z$ ismeretlenek egyike sem lesz zérus. Kizárva tehát azon esetet, hogy az $a$ , $b$ , $c$ számok bármelyike zérus, írhatjuk:

\begin{matrix} \frac{a}{x} + \frac{b}{y} = \frac{1}{c} ... & (1a) \\ \frac{a}{x} + \frac{c}{z} = \frac{1}{b} ... & (2a) \\ \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = \frac{1}{a} ... & (3a) \end{matrix}

Utóbbi egyenletek megfelelő oldalait összeadva:

\begin{matrix} 2 (\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} . \end{matrix}

Azonban

\begin{matrix} 2 (\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}) = 2 (\frac{1}{c} + \frac{c}{z}) = 2 (\frac{1}{b} + \frac{b}{y}) = 2 (\frac{1}{a} + \frac{a}{x}), \end{matrix}

úgy hogy

\begin{matrix} 2 \frac{a}{x} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{a}, 2 \frac{b}{y} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c} - \frac{1}{b}, 2 \frac{c}{z} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{c}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x = \frac{2 a^{2} b c}{b a + c a - b c}, y = \frac{2 a b^{2} c}{a b + b c - a b}, x = \frac{2 a b c^{2}}{c b + c a - a b} . \end{matrix}

Ha az

a b

b c

c a

szorzatok egyike a másik kettő összegével egyenlő, akkor az

x

y

z

értékek egyike végtelenné válik.

Keszler László (Zrinyi Miklós rg. VI. o. Bp. VIII.)