Kezdőlap


Feladat:	1117. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Amigó György , Baán Sándor , Bácsi Z. , Bagdy Dániel , Balogh Ilona , Bleyer Jenő , Bleyer L. , Czipott Zoltán , Danczinger E. , Dudás Imre , Erdélyi Gy. , Erőd Márta , Fehérváry Ákos , Fekete András , Fonó Péter , Frida Vilma , Füleky Lajos , Füzy Ottó , Förstner György , Grosz I. , Grosz László , Grünwald Sándor , Guttmann A. , Hajnal Miklós , Halász Iván , Havas I. , Hohman Á. , Inczédy Anna , Joó Endre , Juhász Kató , Katona Mária , Klein József , Lénárd Ágnes , Lipsitz Imre , Miklós A. , Nagy L. , Papp Attila , Rotter Éva , Stefánovits Erzsébet , Steiner Iván , Szittyai Dezső , Szőllősy Nóra , Tornai Jenő , Varga Zoltán , Vásárhelyi Nagy Sándor , Vecsés J.
Füzet:	1937/január, 139 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Polinomok szorzattá alakítása, Egész együtthatós polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/november: 1117. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . A kijelölt szorzást elvégezve, összevonás után

\begin{matrix} (x^{3} + x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{5} + x - 1. \end{matrix}

x

előjelét megváltoztatjuk, akkor

\begin{matrix} (- x^{3} + x^{2} - 1) (x^{2} + x - 1) = - x^{5} - x - 1 \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x^{5} + x + 1 = (x^{3} - x^{2} + 1) (x^{2} + x + 1) \end{matrix}

2^{0}

. Ha

x

egész szám,

x^{5} + x

is egész és

x (x^{4} + 1)

szorzat alakjában írható. (Ha

x = 1

x^{5} + x = 2

törzsszám).

x^{5} + x + 1

nem törzsszám, mert két egész szám, t. i.

x^{3} = x^{2} + 1

és

x^{2} + x + 1

tényezők szorzata. Hasonlóan

x^{5} + x - 1

is két egész szám, t. i.

x^{3} + x^{2} - 1

és

x^{2} - x + 1

szorzata. Ha azonban

x = 1

, akkor

x^{5} + x - 1 = 1

; ez nem tekinthető sem törzsszámnak, sem összetett számnak, és

x^{5} + x + 1 = 3

. Tehát, ha

x = 1

, akkor

x^{5} + x + 1

törzsszám.

3^{0}

. Az adott egész szám

\begin{matrix} 10 000 000 099 = {(10^{2})}^{5} + 10^{2} - 1 \end{matrix}

alakban írva megfelel

x^{5} + x^{2} - 1

többtagúnak, ha

x = 10^{2} = 100

. Tényezőire bontva lesz:

\begin{matrix} (100^{3} + 100^{2} - 1) (100^{2} - 100 + 1) = (1 009 999) \cdot 9901. \end{matrix}

Fonó Péter (Verbőczy István rg. VI. o. Bp. I.)