Kezdőlap


Feladat:	1089. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bluszt E. , br. Splény G. , Czipott Z. , Donáth G. , Hörcher J. , Kardos J. , Kondor I. , Mandl B. , Marosán Zoltán , Nagy Elemér , Németh K. , Radovics Gy. , Seidl G. , Somogyi A.
Füzet:	1936/október, 36 - 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/május: 1089. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Egyenletünk jobb oldalát átalakítjuk:

\begin{matrix} \frac{a^{4} + 3 a^{2} b^{2} + b^{4}}{a^{3} + a b^{3}} = \frac{{(a^{2} + b^{2})}^{2} + a^{2} b^{2}}{a b (a^{2} + b^{2})} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a b} + \frac{a b}{a^{2} + b^{2}} . \end{matrix}

A baloldal pedig írható igy:

\begin{matrix} \frac{a + x}{b + x} + \frac{b + x}{a + x} . \end{matrix}

Legyen már most:

\begin{matrix} \frac{a + x}{b + x} = y és \frac{a^{2} + b^{2}}{a b} = k . \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} y + \frac{1}{y} = k + \frac{1}{k} . \end{matrix}

Ezen egyenletet nyilván kielégíti :

y_{1} = k

és

y_{2} = \frac{1}{k}

. Minthogy pedig ezen egyenlet rendezés után másodfokúvá lesz, kettőnél több gyöke nem lehet ²

Tehát

\begin{matrix} \frac{a + x}{b + x} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a b} ill. \frac{a + x}{b + x} = \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}, \end{matrix}

úgyhogy

\begin{matrix} x_{1} = \frac{- b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}, x_{2} = \frac{- a^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b} . \end{matrix}

Marosán Zoltán (Kossuth Lajos rg. VI. o. Pestszenterzsébet.)

II. Megoldás. Egyenletünk az aránypárokra vonatkozó átalakítási szabályok alkalmazásával ³

\begin{matrix} \frac{{(a + x)}^{2} + 2 (a + x) (b + x) + {(b + x)}^{2}}{{(a + x)}^{2} - 2 (a + x) (b + x) + {(b + x)}^{2}} = \frac{a^{4} + 2 a^{3} b + 3 a^{2} b^{2} + 2 a b^{3} + b^{4}}{a^{4} - 2 a b^{2} + 3 a^{2} b^{2} - 2 a b^{2} + b^{4}} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{{(a + x + b + x)}^{2}}{{(a + x - b - x)}^{2}} = \frac{{(a^{2} + a b + b^{2})}^{2}}{{(b^{2} - a b + b^{2})}^{2}} \end{matrix}

alakban írható. Innen

\begin{matrix} \frac{a + b + 2 x}{a - b} = \pm \frac{a^{2} + a b + b^{2}}{a^{2} - a b + b^{2}} . \\ (a^{2} - a b + b^{2}) (a + b) + 2 x (a^{2} - a b + b^{2}) = \pm (a^{2} + a b + b^{2}) (a - b) \\ 2 x (a^{2} - a b + b^{2}) = \pm (a^{3} - b^{3}) - (a^{3} - b^{3}) \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x_{1} = - \frac{b^{3}}{a^{2} - a b + b^{2}}, x_{2} = \frac{- a^{3}}{a^{2} - a b + b^{2}} . \end{matrix}

Nagy Elemér (ciszterci Szent Imre g. VI. o. Bp. XI.)

²Az adott esetben az

f (y) = 0

egyenletet

y f (y) = 0

alakra kellett hoznunk. Ezáltal nem hoztunk be új gyököt mert

y = 0

nem gyöke az egyenletnek.

³Ha t. i. $A : B = C : D$ , akkor $(A + 2 B) : (A - 2 B) = (C + 2 D) : (C - 2 D)$ .