Kezdőlap


Feladat:	1078. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bluszt E. , Donáth G. , Fehérváry Á. , Füleky L. , Halász I. , Holzer P. , Jakab K. , Kemenes F. , Kerényi I. , Komlós János , Kondor I. , Mandl B. , Marosán Z. , Méri B. , Nagy E. , Németh K. , Radovics Gy. , Seidl G. , Sommer Gy. , Somogyi A. , Spény G. , Stachó L.
Füzet:	1936/szeptember, 8 - 9. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész számok összege, Négyzetszámok összege, Számtani sorozat, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/április: 1078. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. $n = 1$ esetében $1 = 1$ keletkezik. Ha az összeg csak az első két tagból áll:

\begin{matrix} S_{2} = 1 + 2 = 3 = 2^{2} - 1^{2} . \end{matrix}

Ha az összeg az első bárom tagból áll:

\begin{matrix} S_{3} = 1 + 2 + 3 = 6 = 3^{3} - 2^{2} + 1^{2}, \end{matrix}

Tegyük fel, hogy az első

n - 1

tagra is érvényes:

\begin{matrix} S_{n - 1} = 1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1) = {(n - 1)}^{2} + {(n - 3)}^{2} - \dots {(- 1)}^{n - 2} 1^{2} . \end{matrix}

(1)

Már most

\begin{matrix} S_{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2} = n^{2} - \frac{(n - 1) n}{2} = n^{2} - S_{n - 1} . \end{matrix}

(2)

Helyettesítve ide

S_{n - 1}

értékét (1) szerint, keletkezik

\begin{matrix} S_{n} = n^{2} - {(n - 1)}^{2} + {(n - 2)}^{2} - \dots + {(- 1)}^{n - 1} 1^{2} . \end{matrix}

Minthogy a tétel igaz, ha

n = 1

n = 2

n = 3

, igaz, ha

n = 4

n = 5

s. í. t. igaz általában is.

Jegyzet. Azok a megoldások, amelyek teljes indukció alapján kísérelték meg a bizonyítást, nem fogadhatók el.

II. Megoldás. Vizsgáljuk az

\begin{matrix} a_{n}^{2} - a_{n - 1}^{2} + a_{n - 2}^{2} - a_{n - 3}^{2} + \dots + {(- 1)}^{n - 1} a_{1}^{2} \end{matrix}

kifejezés értékét, ha

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

számtani haladványt alkotnak, melynek különbsége

d

.
Ha

n

páros, akkor

\begin{matrix} (a_{n}^{2} - a_{n - 1}^{2}) + (a_{n - 2}^{2} - a_{n - 3}^{2}) + \dots + (a_{2}^{2} - a_{1}^{2}) = (a_{n} - a_{n - 1}) (a_{n} + a_{n - 1}) + \\ + (a_{n - 2} - a_{n - 3}) (a_{n - 2} + a_{n - 3}) + \dots + (a_{2} - a_{1}) (a_{2} + a_{1}) = \\ = d (a_{n} + a_{n - 1} + a_{n - 2} + a_{n - 3} + \dots + a_{2} + a_{1}), \end{matrix}

mert

\begin{matrix} a_{n} - a_{n - 1} = a_{n - 2} - a_{n - 3} = \dots = a_{2} - a_{1} = d . \end{matrix}

Az adott esetben

a_{1} = 1

a_{2} = 2

...

a_{n} = n

számtani haladvány tagjai, melynek különbsége 1. Tehát a szóban forgó egyenlet jobboldalán

\begin{matrix} n + (n - 1) + (n - 2) + \dots + 3 + 2 + 1 \end{matrix}

áll, ugyanaz, mint a bal oldalán.
Ha

n

páratlan, akkor

\begin{matrix} (a_{n}^{2} - a_{n - 1}^{2}) + (a_{n - 2}^{2} - a_{n - 3}^{2}) + \dots + (a_{3}^{2} - a_{2}^{2}) + a_{1}^{2} = \\ d (a_{n} + a_{n - 1} + a_{n - 2} + a_{n - 3} + \dots + a_{3} + a_{2}) + a_{1}^{2} . \end{matrix}

Minthogy

d = 1

, egyenletünk jobb oldalán most is

\begin{matrix} n + (n - 1) + (n - 2) + \dots + 3 + 2 + 1 \end{matrix}

áll.

Komlós János (Gr. Széchenyi István gyakorló r. VI. o. Pécs.)