Kezdőlap


Feladat:	1050. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Acsay F. , Amigó Gy. , Apfel B. , Bagdy D. , Bálint Nagy Z. , Blau I. , Bluszt E. , Bodó Z. , Brucker I. , Cseh S. , Cser Sándor , Csermely L. , Czeizler Gy. , Dax A. , Dénes P. , Donáth G. , Egger G. , Fehérváry Á. , Fekete András , Füleky L. , Földi M. , Gábor Gy. , Godlschmid V. , Grósz I. , Grünfeld S. , Guttman A. , Haid F. , Halász I. , Holzer P. , Horvát G. , Hörcher J. , Joó E. , Kemenes F. , Kocsis J. , Komlós J. , Kondor I. , Kovalóczy Gy. , Mandl B. , Marjos I. , Marosán Z. , Mártha Zsuzsi , Mezei G. , Miklós J. , Nádas J. , Nagy E. , Németh K. , Orbán O. , Papp F. , Papp I. , Pappert T. , Petheő T. , Pontyos V. , Radovics Gy. , Sebestyén Gy. , Seidl G. , Somló Gy. , Somogyi A. , Splény G. , Stachó L. , Steiner F. , Szabó A. , Szájbély J. , Székely D. , Szél Gy. , Szűcs F. , Tamás I. , Than K. , Till G. , Tóbiás K. , Tóth B. , Tóth I. , Tóth M. , Vendl A. , Vezekényi A.
Füzet:	1936/március, 194 - 195. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Irracionális egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/január: 1050. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen $\sqrt[3]{72 - x} = u$ és $\sqrt[3]{16 - x} = v$ ,
tehát

\begin{matrix} 72 - x = u^{3} és 16 - x = v^{3} . \end{matrix}

Eszerint:

\begin{matrix} u^{3} - v^{3} = 56 & (1) \\ és u - v = 2. & (2) \end{matrix}

Mármost

\begin{matrix} u^{3} - v^{3} = (u - v) (u^{2} + 2 u v + v^{2}) = 2 (u^{2} + u v + v^{2}) . \end{matrix}

Ennek tekintetbe vételével (1)-ből:

\begin{matrix} u^{2} + u v + v^{2} = 28. \end{matrix}

(1a)

(2) alapján

u = v + 2

és ezt helyettesítve (

1 a

)-ba, keletkezik

\begin{matrix} {(v + 2)}^{2} + v (v + 2) + v^{2} = 28, ill. v^{2} + 2 v - 8 = 0. \end{matrix}

(3)

A (3) gyökei:

\begin{matrix} v_{1} = 2, v_{2} = - 4. \end{matrix}

Ezeknek megfelelőleg:

\begin{matrix} u_{1} = 4, u_{2} = - 2. \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} x = 72 - u^{3} = 16 - v^{3}, \\ x_{1} = 8, x_{2} = 80. \end{matrix}

Egyenletünket mind a két

x

érték kielégíti.

Cser Sándor (Bencés rg. VI. o. Pápa.)

Jegyzet. Az (1a) egyenlet írható így is:

{(u - v)}^{2} + 3 u v = 28

. Minthogy

u - v = 2

, keletkezik

u v = 8

ill.

- u v = - 8

. Felfoghatjuk úgy, hogy keresnünk kell két számot,

u

-t és

- v

-t, ha összegük 2 és szorzatuk

- 8

. Eszerint

u

és

- v

\begin{matrix} z^{2} - 2 z - 8 = 0 \end{matrix}

egyenletnek gyökei. Azaz, ha

\begin{matrix} z_{1} = u = 4, akkor z_{2} = - v = - 2, tehát v = 2, \end{matrix}

és ha

\begin{matrix} z_{2} = u = - 2, akkor z_{1} = - v = 4, tehát v = - 4. \end{matrix}

II. Megoldás. Az adott egyenlet mindkét oldalán köbre emelve, keletkezik:

\begin{matrix} 72 - x - 3 \sqrt[3]{{(72 - x)}^{2}} \sqrt[3]{16 - x} + 3 \sqrt[3]{72 - x} \sqrt[3]{{(16 - x)}^{2}} - 16 + x = 8. \end{matrix}

Összevonás, egyszerűsítés után:

\begin{matrix} \sqrt[3]{(72 - x) (16 - x)} (\sqrt[3]{72 - x} - \sqrt[3]{16 - x}) = 16, \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} \sqrt[3]{(72 - x) (16 - x)} = 8, vagy (72 - x) (16 - x) = 8^{3} = 512. \end{matrix}

A kijelölt műveletek végrehajtása és rendezés után:

\begin{matrix} x^{2} - 88 x + 640 = 0; innen x_{1} = 8, x_{2} = 80. \end{matrix}

Fekete András (Fazekas Mihály r. VI. o. Debrecen.)