Kezdőlap


Feladat:	1047. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ágoston Éva , Amigó Gy. , Apfel B. , Bálint Nagy Z. , Bartók László , Bluszt E. , Bodó Z. , Bulkay L. , Cseh S. , Cser S. , Czeizler Gy. , Dénes P. , Donáth G. , Einhorn Ilona , Fehérváry Á. , Gábor Gy. , Goldschmid V. , Grósz I. , Guttman A. , Haid F. , Halász I. , Havas I. , Holzer P. , Horvát G. , Hörcher J. , Jankovich I. , Joó E. , Kemenes F. , Kemény Gy. , Kohn I. , Komlós János , Kondor I. , Mandl B. , Manninger Olga , Marosán Z. , Méhész Gy. , Mezei G. , Miklós J. , Nádas J. , Nagy E. , Nagy István , Németh K. , Neugebauer J. , Papp F. , Papp I. , Pappert T. , Pénzes L. , Petheő T. , Pontyos V. , Radovics Gy. , Rotter Éva , Sebestyén Gy. , Seidl G. , Somló J. , Somogyi A. , Splény G. , Stachó L. , Steiner F. , Szájbély J. , Székely I. , Szenes Anna , Szűcs F. , Takács P. , Tassonyi K. , Till G. , Tóbiás I. , Tóbiás K. , Tóth I. , Vendl A. , Vezekényi A.
Füzet:	1936/március, 191 - 192. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/január: 1047. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen az ismeretlen számrendszer alapja $x$ ; a feladat követelménye

\begin{matrix} a x^{4} + 3 a x^{3} + 4 a x^{2} + 2 a x + a = a \cdot 10^{3} + a \cdot 10^{2} + a \cdot 10 + a, \end{matrix}

ill. mivel

a \neq 0

\begin{matrix} x^{4} + 3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1 = 1111, \end{matrix}

vagy még

\begin{matrix} x (x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2) = 1110 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 37 \end{matrix}

alakban írható. Eszerint kell, hogy

x

2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 37

szorzat osztója legyen. Azonban

x < 10

tartozik lenni, mert az

x

alapú rendszerben a szám legmagasabb helyértéke

x^{4}

, míg a tízes rendszerben

10^{3}

. Így csak

x = 2, 3, 5, 2 \cdot 3 = 6

felelhetnek meg.
Minthogy

a ≧ 1

és az

x

alapú számrendszerben felírt számban

4 a

egyjegyű szám, kell, hogy

x > 4

legyen. Tehát csak 5 és 6 jöhet tekintetbe.
Valóban, ha

x = 5

, akkor

a = 1

és a keresett szám.

\begin{matrix} {[1111]}_{10} = {[13421]}_{5} . \end{matrix}

x = 6

esetében azonban az

\begin{matrix} x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2 \end{matrix}

kifejezésben

x = 6

helyettesítésével már

x^{3} = 6^{3} > 5 \cdot 37

és így

x = 6

nem felel meg a követelménynek.

Nagy István (Faludi Ferenc rg. VI. o. Szombathely.)

II. Megoldás. Amint láttuk az előbbi megoldásban, oly

x

egész számot kell keresnünk, amelyre nézve

\begin{matrix} x^{+} 3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1 = 1111, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x^{4} < 1111 < {(x + 1)}^{4}, \end{matrix}

mert

\begin{matrix} x^{4} + 3 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1 < {(x + 1)}^{4} = x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1. \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} 5^{4} < 1111 < 6^{4}, nyilván x = 5. \end{matrix}

Tekintettel arra, hogy

a ≧ 1

, de

4 a < 5

a = 1

Bartók László (ág. ev. g. V. o. Bp.)

III. Megoldás. Minthogy

\begin{matrix} x^{4} < 1111, x < 6. \end{matrix}

A keresett szám, t. i.

1111 a

x

alapú számrendszerben nem lehet hatjegyű, kell, hogy

1111 a < x^{5}

legyen. Mivel pedig

a

legkisebb értéke 1, következik:

1111 < x^{5}

, tehát

x > 4

.
Eszerint

\begin{matrix} 4 < x < 6, azaz x = 5 és a = 1. \end{matrix}

Komlós János (Széchenyi István gyakorló r. VI. o. Pécs.)