Feladat: 991. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  B. Major P. ,  Bartók L. ,  Bodó Z. ,  Csepreghy Magdolna ,  Datner P. ,  Földesi T. ,  Grosinger S. ,  Herczeg Gy. ,  Illovszky G. ,  Jankovich I. ,  Kálmán T. ,  Kazinczy L. ,  Kemény Gy. ,  Komlós J. ,  Kondor I. ,  Kőnig L. ,  Kukorelly Gy. ,  Lóránd E. ,  Nagy Elemér ,  Németh K. ,  Radovics Gy. ,  Segner Andrea ,  Seidl G. ,  Somogyi A. ,  Steffler S. ,  Szűcsi István ,  Tarnóczy L. ,  Vargha Tamás 
Füzet: 1935/szeptember, 5 - 7. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Parabola, mint kúpszelet, Hiperbola, mint kúpszelet, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1935/április: 991. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A két egyenlet megfelelő tagjait egymásból kivonva oly egyenlethez jutunk, amelyben x csak első hatványon szerepel:

2xy+2x-4y2-2y=0és innenx=y(2y+1)y+1.(3)

Ha (1) tagjait 2-vel szorozzuk és így vonjuk ki a (2) tagjait, keletkezik:
x2-4y(y+1)=0.(4)
x-nek (3) alatti értékét (4)-be helyettesítve:
y2(2y+1)2(y+1)2-4y(y+1)=0ill.y(8y2+11y+4)=0.(5)

Két másodfokú, két ismeretlent tartalmazó egyenletből álló egyenletrendszerből az egyik ismeretlen kiküszöbölése után általában negyedfokú egyenlethez jutunk. Itt azt látjuk, hogy y4 együtthatója összevonás után eltűnik; ez annak a jele, hogy a negyedfokú egyenlet egyik gyöke végtelenné válik. Ha y=∞, akkor (3) szerint egyszersmind x=∞.
Most már az (5) egyenletnek egyik gyöke y=0. A többi gyökei a 8y2+11y+4=0 egyenlet gyökei; ezek azonban komplex számok, mert az egyenlet discriminánsa: 121-128<0.
Csak a véges valós gyökökre szorítkozva: y=0 és (3) szerint x=0.
 

Szűcsi István (Szent László rg. VI. o. Bp. X.).
 

II. Megoldás. A (2) egyenlet írható így is:
(x-2y)2-4x=0.(2a)
(1)-ből
y=x2-2x2(x+1).
Eszerint
x-2y=x-x2-2xx+1=3xx+1.
Helyettesítjük ezt (2a)-ba:
9x2(x+1)2-4x=0,vagy-x(4x2-x+4)=0.(6)
Innen pedig:
x=0,teháty=0.

A 4x2-x+4=0 egyenlet gyökei, melyek a (6) egyenletet is kielégítik, komplex számok.
 

Vargha Tamás (Ref. Baksai Sándor rg. VI. o. Kunszentmiklós).
 

I. Jegyzet. A II. megoldásban x-2y kiszámításánál eltűnik a számlálóban x2 és ezért nem kapunk negyedfokú egyenletet.
 

II. Jegyzet. Néhány dolgozat nem volt figyelembe vehető, mert az egyenletrendszernek éppen az x=0, y=0 valós megoldását nem hozta ki, a már több ízben kifogásolt ,,x''- ill. ,,y''-nal való ,,rövidítés'' miatt.
Tekintettel arra, hogy egyenleteinknek egy-egy görbe felel meg, az egyenletrendszer megoldását mindig úgy foghatjuk fel, hogy keressük a két görbe közös pontjait, ill. ezen pontok (x,y) koordinátáit; ezek pedig ‐ a mi tanulmányaink keretén belül ‐ csak valós értékek lehetnek.
A geometriai viszonyok megvilágítására kiemeljük, hogy az (1) egyenletnek oly hiperbola felel meg, melynek aszimptotái közül az egyik párhuzamos az Y-tengellyel, a másik pedig az x-2y=0 vagyis az y=x2 egyenessel. A (2) egyenletnek pedig egy parabola felel meg, melynek főtengelye párhuzamos az x-2y=0 egyenessel. Eszerint a hiperbola egyik aszimptotája és a parabola főtengelye párhuzamosak; ebből azt következtetjük, hogy a parabola végtelenben fekvő pontja és a hiperbola egyik végtelenben fekvő pontja közös pont. Továbbá mindkét görbe keresztülmegy az origón.
Két kúpszeletnek általában 4 közös pontja van; a jelen esetben azonban valós közös pont csak kettő van: egyik az origó, a másik az x-2y=0 egyenes végtelenben fekvő pontja.