Kezdőlap


Feladat:	988. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	B. Major P. , Barna T. , Bodó Z. , Cseh S. , Czipott Zoltán , Datner P. , Dénes P. , Földesi T. , Hahn I. , Harsányi J. , Holzer P. , Jankovich I. , Kardos Gy. , Kazinczy L. , Kemény Gy. , Komlós J. , Kondor I. , Kukorelly Gy. , König L. , Lóránd E. , Mandl B. , Mártha Zsuzsi , Nagy Elemér , Nagy Ernő , Nemes T. , Németh K. , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Radovics Gy. , Reiszmann Gy. , Révész A. , Sájermann J. , Schreiber B. , Schwarz J. , Seidl G. , Somogyi A. , Steffler S. , Szűcsi I. , Tárczy T. , Tarnóczy L. , Tassonyi K. , Vargha T. , Vezekényi A.
Füzet:	1935/szeptember, 3 - 4. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Anyagok keverése és töltögetése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1935/április: 988. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyes fajtákból vett kg-ok száma legyen rendre $x$ , $y$ , $z$ . A feladat követelményei alapján a három ismeretlenre nézve a következő egyenletek írhatók fel:

\begin{matrix} x + y + z & = n, & (1) \\ x + y & = z, & (2) \\ a x + b y + c z & = d n . & (3) \end{matrix}

(1)-ből és (2)-ből

\begin{matrix} 2 z = n, z = \frac{n}{2} . \end{matrix}

Eszerint (1)-ből:

\begin{matrix} x + y = \frac{n}{2} & (4) \\ (3) -ból: a x + b y = d n - \frac{c n}{2} = \frac{n (2 d - c)}{2} . & (5) \end{matrix}

A (4) és (5) egyenletekből álló egyenletrendszer akkor és csak akkor határozott, ha

a \neq b

. Ha (4) tagjait

b

-vel szorozzuk és az (5) megfelelő tagjaiból kivonjuk, keletkezik

\begin{matrix} x = \frac{n (2 d - c - b)}{2 (a - b)} és y = \frac{n}{2} - x = \frac{n (a + c - 2 d)}{2 (a - b)} . \end{matrix}

Feltehetjük, hogy

a > b

. Hogy

x

és

y

értékei elfogadhatók legyenek, pozitíveknek kell lenniök; ennek feltétele:

\begin{matrix} b + c < 2 d < a + c ill. \frac{b + c}{2} < d < \frac{a + c}{2} . \end{matrix}

Abban az esetben, ha

a = b

, azonban

2 d \neq b + c

,^{$^{*}$} a feladatnak nincs megoldása; az egyenletrendszer ellentmondó.
Ha

a = b

és

2 d = b + c (= a + c)

, az egyenletrendszer határozatlan. Ekkor az (5) a (4) következménye; ugyanis az (5) így írható:

\begin{matrix} a (x + y) = \frac{n}{2} (2 d - c) = \frac{n}{2} \cdot a . \end{matrix}

Czipott Zoltán (Kegyesrendi rg. IV. o. Debrecen).

^{$^{*}$}Ill.

2 d \neq a + c

; ugyanis

b + c = a + c

, ha

b = a