Kezdőlap


Feladat:	987. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	B. Major P. , Barabás J. , Bodó Z. , Cseh S. , Grosinger S. , Jankovich I. , Kardos Gy. , Kemény Gy. , Komlós J. , Kondor István , Kőnig L. , Mandl B. , Nagy Elemér , Nagy J. , Németh K. , Oroszhegyi Szabó Lajos. , Radovics Gy. , Schwarz J. , Seidl G. , Somogyi A. , Steffler S. , Tarnóczy L. , Till G. , Vargha T.
Füzet:	1935/szeptember, 2 - 3. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Legkisebb közös többszörös, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1935/április: 987. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$135 = 5 \cdot 3^{3}$ és $148 = 2^{2} \cdot 37$ . Ezen számok legkisebb közös többszöröse: $2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 37$ . Közös nevezőre hozva:

\begin{matrix} \frac{A}{135} + \frac{B}{148} = \frac{148 A + 135 B}{2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 37} . \end{matrix}

Ezen törtet akkor és csak akkor lehet tizedes tört alakjában kifejezni, ha a nevezője

2

-n és

5

-ön kívül más törzstényezőt nem tartalmaz. Hogy tehát ezen eset álljon elő, a számlálónak oszthatónak kell lennie

3^{3} = 27

-tel és

37

-tel.
Minthogy a számláló egyik tagja,

135 B

osztható

27

-tel, kell hogy

148 A

is osztható legyen

27

-tel; ez pedig csak úgy lehetséges, ha

A

27

többszöröse:

A = 27 x

.
Hasonlóan kell, hogy

B

37

többszöröse legyen:

B = 37 y

.

Eszerint:

\begin{matrix} \frac{A}{135} = \frac{27 x}{135} = \frac{x}{5} és \frac{B}{148} = \frac{37 y}{148} = \frac{y}{4} . \end{matrix}

Feladatunk követelménye:

\frac{x}{5} + \frac{y}{4} < 1

azaz

4 x + 5 y < 20

, ahol

x

és

y

poz., egész számok tartoznak lenni.^{$^{*}$}
Ezen követelménynek eleget tesznek:

\begin{matrix} x = 1, & y = 1; ekkor \frac{27}{135} + \frac{37}{148} = \frac{4 + 5}{20} = 0, 45; \\ x = 1, & y = 2;,, \frac{27}{135} + \frac{74}{148} = \frac{4 + 10}{20} = 0, 7; \\ x = 1, & y = 3;,, \frac{27}{135} + \frac{111}{148} = \frac{4 + 15}{20} = 0, 95; \\ x = 2, & y = 1;,, \frac{54}{135} + \frac{37}{148} = \frac{8 + 5}{20} = 0, 65; \\ x = 2, & y = 2;,, \frac{54}{135} + \frac{74}{148} = \frac{8 + 10}{20} = 0, 9; \\ x = 3, & y = 1;,, \frac{81}{135} + \frac{37}{148} = \frac{12 + 5}{20} = 0, 85; \end{matrix}

Kondor István (Szent Benedekrendi gimn. V. o. Kőszeg).

^{$^{*}$}Tehát kizárjuk az

x = 0

vagy

y = 0

esetet!