Kezdőlap


Feladat:	930. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Abossy I. , Barabás J. , Barna T. , Blum Aranka , Bodó Z. , br. Karg Irma , Csurgói ref. rg. VI. o. , Demjén J. , Dénes Zsuzsanna , Fülöp K. , Földesi T. , Gaál Magda , Geiger Mária , Harsányi J. , Hirsch V. , Holczer P. , Hyross Z. , Illovszky G. , Jakatics I. , Jakoby I. , Kálmán T. , Kazinczy L. , Kemény Gy. , Klein S. , Kőnig L. , Landorfer Ida , Lossinszky T. , Lovass A. , Mandl B. , Mezei S. , Moiret Margit , Morvay S. , Nagy Elemér , Nagy János , Neugebauer J. , Parlag Éva , Polányi J. , Rácz J. , Révész A. , Rózinger L. , Sájerman J. , Salgó I. , Schmitterer J. , Stachó Lajos , Stern Gy. , Szelei Gy. , Sziklai L. , Szőcs I. , Szűcsi I. , Tárczy T. , Tarnóczy L. , Tonigold Magda , Törös Anna , Usarovits T. , Veress N. , Wachsberger Gy. , Windt L. , Zsilinszky Mária
Füzet:	1934/december, 88 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1934/október: 930. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az (1) és (2) egyenletekből kifejezhetjük $x$ , $y$ , $z$ arányát. Szorozzuk (1) tagjait $c$ -vel és vonjuk ki a (2) megfelelő tagjait:

\begin{matrix} (c - a) x + (c - b) y = 0, \end{matrix}

tehát, ha

a

b

c

különböző számok (azaz

c - a \neq 0

és

c - b \neq 0

és

a - b \neq 0

)

\begin{matrix} \frac{x}{b - c} = \frac{y}{c - a} = \frac{x + y}{b - a} = \frac{- z}{b - a} = \frac{z}{a - b} . \end{matrix}

Ezen megállapítást úgy is kifejezhetjük, hogy

x

y

z

rendre arányosak a

b - c

c - a

a - b

különbségekkel, azaz

\begin{matrix} x = k (b - c), y = k (c - a), z = k (a - b) . \end{matrix}

Ezeket (3)-ba helyettesítve

\begin{matrix} k [b c (b - c) + c a (c - a) + a b (a - b)]^{1} = 1, \end{matrix}

¹
vagy

\begin{matrix} k (a - b) (b - c) (c - a) = - 1. \end{matrix}

Így

\begin{matrix} x = \frac{- 1}{(a - b) (c - a)}, y = \frac{- 1}{(b - c) (a - b)}, z = \frac{- 1}{(c - a) (b - c)} . \end{matrix}

II. Megoldás. Az (1) egyenlet tagjait

- a

-val szorozva, összevonjuk a (2) tagjaival, miáltal keletkezik:

\begin{matrix} (b - a) y + (c - a) z = 0. \end{matrix}

(4)

Az (1) tagjait

- b c

-vel szorozva, a (3) tagjaival vonjuk össze; így

\begin{matrix} c (a - b) y + b (a - c) z = 1. \end{matrix}

(5)

Most a (4) tagjait

c

-vel szorozva, az (5) tagjaival vonjuk össze; így

\begin{matrix} [c (c - a) + b (a - c)] z = 1, azaz z = \frac{1}{(a - c) (b - c)} . \end{matrix}

a

b

c

betük megfelelő felcserélésével

\begin{matrix} x = \frac{1}{(c - a) (b - a)}, y = \frac{1}{(a - b) (c - b)} . \end{matrix}

Stachó Lajos (Klauzál Gábor rg. V. o. Szeged)

\begin{matrix} b c (b - c) + c a (c - a) = b^{2} c - b c^{2} + c^{2} a - a^{2} c = c^{2} (a - b) - c (a^{2} - b^{2}) = (a - b) (c^{2} - a c - b c) \\ b c (b - c) + c a (c - a) + a b (a - b) = (a - b) = (a - b) (c^{2} - a c - b c + a b) = (a - b) (b - c) (a - c) . \end{matrix}