Kezdőlap


Feladat:	908. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Brill Gy. , Bukszbaum Gy. , Czinczenheim J. , Fleischer Gy. , Hatos J. , Herczeg Gyula , Kádár Gy. , Kálmán L. , Kiss A. , Lóránd E. , Magyar K. , Marton T. , Nagy Gy. , Pichler Gy. , Pick György , Pollák Gy. , Renner Z. , Rosenberger T. , Szele T.
Füzet:	1934/október, 37 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számkörök, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1934/május: 908. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A diákok golyóinak száma a játék elején rendre $7 x$ , $6 x$ , $5 x$ , a játék végén $6 y$ , $b y$ , $4 y$ , ahol $x$ és $y$ egész számok. Az összes golyók száma a játék elején és végén ugyanannyi, azaz

\begin{matrix} 7 x + 6 x + 5 x = 6 y + 5 y + 4 y, ill. 18 x = 15 y vagyis 6 x = 5 y . \end{matrix}

Ezen eredmény kifejezhető így is:

x : y = 5 : 6

,
más szóval:

x = 5 u

y = 6 u

, ahol

u

egész szám.
Eszerint a diákok golyóinak száma:

\begin{matrix} az elsőnél, & a játék & elején & 35u, & a játék & végén & 36u; \\ a másodiknál, & ,, & ,, & 30u, & ,, & ,, & 30u; \\ a harmadiknál, & ,, & ,, & 25u, & ,, & ,, & 24u. \end{matrix}

Ebből látjuk, hogy az első nyert, a harmadik veszített, a második nem nyert, nem veszített. Az első nyeresége

\begin{matrix} 36 u - 35 u = u = 12. \end{matrix}

A diákok golyóinak száma tehát, külön-külön a játék elején 420, 360, 300, a játék végén 432, 360, 288; összesen 1080 golyójuk volt.

Herczeg Gyula (Széchenyi István gyakorló r. V. o. Pécs).

II. Megoldás. A játék elején a diákok golyóinak száma az összes golyók számához viszonyítva

\begin{matrix} \frac{7}{18}, \frac{6}{18}, \frac{5}{18}, \end{matrix}

a játék végén:

\begin{matrix} \frac{6}{15}, \frac{5}{15}, \frac{4}{15} . \end{matrix}

Minthogy

\frac{6}{18} = \frac{5}{15}

, a másodiknak ugyanannyi golyója van a játék végén, mint az elején. A harmadik veszít, mert

\frac{5}{18} > \frac{4}{15}

. Az első játékos nyer mégpedig

\frac{6}{15} - \frac{7}{18} = \frac{1}{90}

részét az összes golyóknak.

Minthogy ezen nyereség 12 golyó, az összes golyók száma

90 \times 12 = 1080

. Ebből a játék elején az egyes diákok golyóinak száma sorban:

\begin{matrix} 1080 \times \frac{7}{18} = 420, 1080 \times \frac{6}{18} = 360, 1080 \times \frac{5}{18} = 300. \end{matrix}

Pick György (Bolyai r. VI. o. Bp. V.).