Kezdőlap


Feladat:	859. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Abonyi G. , Altneder J. , Andreánszky G. , Bálint J. , Bazsó V. , Brill Gy. , Bródy Éva , Buchsbaum Gy. , Buresch Margit , Csiba F. , Csurgói ref. rg. V. o. , Czetz S. , Fabianits L. , Faragó P. , Fleischer Gy. , Freund K. , Friedmann L. , Fülöp K. , Földesi T. , Gálik J. , Glück P. , Gombos F. , Grózinger S. , Grüneberg Gabriella , Gulyás F. , Gyopár L. , Hatos J. , Hegedüs J. , Herczeg Gy. , Hirschler Z. , Hlatky-Schlichter Mária , Illovszky G. , Inhof J. , Jakatics I. , Jakobi I. , Kádár Gy. , Kálmán L. , Kapcsándi I. , Karner R. , Karsai Marianne , Kazinczy L. , Keiner S. , Kellner O. , Kepes Á. , Klein S. , Kőhalmi Mária , Kukorelli Gy. , Kuttner S. , Lányi A. , Levin T. , Lossinszky T. , Lovass A. , Lusteiner Gy. , Magyar K. , Maróti D. , Marton T. , Máté Z. , Maurer Erzsike , Morvai S. , Nagy Gyula , Németh Magdolna , Novák F. , Nyárády I. , Pados G. , Paulicsek J. , Petruska D. , Pick Gy. , Polgár J. , Pollák Gy. , Preszmayer K. , Rácz J. , Rédl L. , Renner Z. , Rickl A. , Sas Valéria , Schiff Erzsébet , Schmidt F. , Schneer Anna , Schwarz E. , Schwarz O. , Sigmond A. , Steiner M. , Stern Gy. , Surányi J. , Szabó L. , Szabó S. , Szakkai I. , Szalai B. , Szécsi J. , Székely L. , Szele T. , Sziklai L. , Szűcsi I. , Tarnóczy L. , Teutenberg Z. , Tóth E. , Tremkó F. , Villani F. , Vitéz I. , Völgyi B. , Vönöczky Gy. , Wachsberger Gy. , Weisz L. , Weiszfeld I. , Zoltán I. , Zoltán O.
Füzet:	1934/február, 156 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1933/december: 859. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindkét oldalon négyzetre emelve:

\begin{matrix} 2 x + 8 - 2 \sqrt[]{(2 x + 8) (x + 5)} + x + 5 = 49, ill. 3 x - 86 = 2 \sqrt[]{(x + 5) \cdot (2 x + 8)} . \end{matrix}

(1)

Ismét négyzetre emelve és összevonva:

\begin{matrix} x^{2} - 288 x + 1136 = 0 \end{matrix}

(2)

egyenlethez jutunk. Ennek gyökei:

\begin{matrix} x = \frac{288 \pm \sqrt[]{288^{2} - 4 \cdot 1136}}{2} = \frac{288 + 280}{2}, tehát x_{1} = 284, x_{2} = 4. \end{matrix}

Meg kell győződnünk, hogy a (2) egyenlet gyökei valóban kielégítik-e az eredeti egyenletet,

x

helyébe

284

-t helyettesítve

\begin{matrix} \sqrt[]{568 + 8} - \sqrt[]{284 + 5} = \sqrt[]{576} - \sqrt[]{289} = 24 - 17 = 7. \end{matrix}

Tehát

x = 284

gyöke az eredeti egyenletnek.

x

helyébe

4

-t helyettesítve:

\sqrt[]{8 + 8} - \sqrt[]{4 + 5} = 4 - 3 = 1

x = 4

nem gyöke az eredeti egyenletnek; ez idegen gyök, még pedig a

\begin{matrix} \sqrt[]{2 x + 8} + \sqrt[]{x + 5} = 7 \end{matrix}

(3)

egyenletnek gyöke. Ezen egyenletből négyzetre emelés által

\begin{matrix} 3 x - 36 = - 2 \sqrt[]{(2 x + 8) (x + 5)}, \end{matrix}

(4)

majd ebből, négyzetre emelés által ugyanazon (2) egyenlethez jutunk.

Nagy Gyula (Bencés g. VI. o. Győr).

Jegyzet. Irracionális egyenletekben a négyzetgyök csak egy értéket jelenthet, mégpedig a pozitív értéket. Így az (1)-ből látható, hogy

3 x - 36 > 0

. azaz

x > 12

tartozik lenni. Viszont a (3) egyenletet kielégítő

x

érték a (4) szerint

12

-nél kisebb.