Kezdőlap


Feladat:	828. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálint J. , Bogdándy Margit , Brill Gy. , Buresch Margit , Csurgói ref. rg. V. o. , Grüneberg Gabriella , Gyopár L. , Hirschler Z. , Kádár Gy. , Kálmán L. , Lakatos Ilona , Magyar K. , Maurer Erzsébet , Novák F. , Paulicsek J. , Pick Gy. , Preszmayer K. , Schneer Anna , Singer G. , Surányi J. , Szalai B. , Szele T. , Thiering Aglája , Tóth E. , Varga I.
Füzet:	1933/november, 60 - 61. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1933/szeptember: 828. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Végezzük el az osztást! Ennek eredményeként

\begin{matrix} (A x^{4} + B x^{3} + 1) = \\ = (x^{2} - 2 x + 1) [A x^{2} + (B + 2 A) x + 2 B + 3 A] + (3 B + 4 A) x + 1 - (2 B + 3 A) . \end{matrix}

Az oszthatóság feltétele, hogy a maradék eltűnjék; ez a maradék:

\begin{matrix} (3 B + 4 A) x + 1 - (2 B + 3 A) \end{matrix}

csak úgy tűnhetik el, ha

\begin{matrix} 3 B + 4 A = 0 \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} 2 B + 3 A = 1. \end{matrix}

(2)

Egyenlő együtthatók módszerét alkalmazva, a

B

kiküszöbölésére:

\begin{matrix} 6 B + 8 A = 0, & (1a) \\ 6 B + 9 A = 3, & (2a) \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A = 3 és így B = - 4. \end{matrix}

A

és

B

ezen értéke mellett a maradék eltűnik és a hányados:

\begin{matrix} A x^{2} + (B + 2 A) x + 2 B + 3 A = 3 x^{2} + 2 x + 1. \end{matrix}

Ref. rg. V. o. Csurgó.

II. Megoldás.

\begin{matrix} (A x^{4} + B x^{3} + 1) \equiv (x^{2} - 2 x + 1) (α x^{2} + β x + l) = \\ = α x^{4} + (β - 2 α) x^{3} + (α - 2 β + 1) x^{2} + (β - 2) x + 1 \end{matrix}

fennáll akkor, ha

\begin{matrix} A = α, β = β - 2 α, α - 2 β + 1 = 0, β - 2 = 0. \end{matrix}

Tehát:

\begin{matrix} β = 2, α = 3, A = 3, B = - 4. \end{matrix}

Grüneberg Gabriella (Áll. magyar rg. VI. o. Pozsony-Bratislava).

Jegyzet.

x

hatványai szerint rendezett többtagú kifejezés jele legyen

F (x)

; az adott esetben

\begin{matrix} F (x) \equiv A x^{4} + B x^{3} + 1. \end{matrix}

F (x)

osztható

(x - 1)

-el, ha

F (x)

-ben

x

helyébe 1-t helyettesítve

F (1) = 0.

\begin{matrix} F (1) = A + B + 1 = 0, ha B = - A - 1. \end{matrix}

Így

\begin{matrix} F (x) = A x^{4} - A x^{3} - x^{3} + 1 = A x^{3} (x - 1) - (x^{3} - 1) = \\ = (x - 1) [A x^{3} - (x^{2} + x + 1)] = (x - 1) G (x), \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} G (x) \equiv A x^{3} - (x^{2} + x + 1) . \end{matrix}

F (x)

osztható

{(x - 1)}^{2}

-tel, ha

G (x)

osztható

(x - l)

-el, azaz

\begin{matrix} G (1) = A - (1 + 1 + 1) = 0, vagyis A = 3. \end{matrix}

De ha

A = 3,

akkor

B = - A - 1 = - 4.

Most már

\begin{matrix} F (x) = (x - 1) [3 x^{3} - x^{2} - x - 1] = {(x = 1)}^{2} (3 x^{2} + 2 x + 1) . \end{matrix}

Ugyanis

\begin{matrix} 3 x^{3} - x^{2} - x - 1 = (x^{3} - x^{2}) + (x^{3} - x) + (x^{3} - 1) = \\ = x^{2} (x - 1) + x (x - 1) (x + 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 1) = (x - 1) (3 x^{2} + 2 x + 1) . \end{matrix}