Feladat: 807. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bartha Buresch Arisztid ,  Bogdánfy Margit ,  Brill Gyula ,  Buresch Margit ,  Csanádi Gy. ,  Csurgói ref. rg. VI.o. ,  Czetz S. ,  Fenyő I. ,  Füves I. ,  Gosztonyi A. ,  Herbst D. ,  Huber Margit ,  Hümpfner Olga ,  Jachja L. ,  Jakab Z. ,  Janits I. ,  Jász L. ,  Kellner O. ,  Kovács P. ,  Kováts E. ,  Kürthy Ö. ,  Lakatos Ilona ,  Madár J. ,  Magyar K. ,  Náday Z. ,  Nágel S. ,  Nagy E. ,  Paál Sándor ,  Porges A. ,  Róth György ,  Schneer Anna ,  Schwertner M. ,  Steiner Z. ,  Tornyos Éva ,  Turda E. ,  Varga Z. ,  Vass T. ,  Verebély L. 
Füzet: 1933/szeptember, 2 - 3. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Egészrész, törtrész függvények, Függvényvizsgálat, Kombinatorikus geometria síkban, Numerikus és grafikus módszerek, Egyéb sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1933/április: 807. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az n oldalú sokszög átlóinak száma: n(n-3)2. Feladatunk az

nn(n-3)2=P  illetve  n2(n-3)=2P
egyenlet poz. egész számú gyökeit keresni. Ha van ilyen, akkor ez csak 2P osztója lehet, sőt kell, hogy annak négyzete is 2P osztója legyen. 2P osztóinak száma véges, tehát megkísérelhetjük a kívánt gyök megállapítását. Kiemeljük még azt, hogy csak egy megoldása lehet a feladatnak, mert n2(n-3) az n értékével (n>3) folyton növekedik, tehát csak egyszer veheti fel a 2P értéket.
Ha P egyik osztója sem felel meg a követelménynek, a feladatnak nincs megoldása.
Az adott esetben 2P=1690=2×5×132. Látjuk tehát, hogy 2P-nek csak egy négyzetes osztója van: 132; eszerint csak n=13 felelhet meg. Ez valóban megfelel, mert
132(13-3)=169×10=1690.

Az átlók száma: 845:13=65=13(13-3)2.
 

Paál Sándor (Árpád rg. V. o. Bp. III.)
 

II. Megoldás. Keresnünk kell az
n3-3n2=2P
egyenlet poz. egész számú gyökét. Kiindulunk abból, hogy
n3-3n2<n3-3n2+3n-1,  ha  n4,
tehát
2P<(n-1)3,azazn>2P13+1.
Másrészt:
n3-3n2>n3-6n2+12n-8=(n-2)3,
mert
3n2-12n+8=3(n2-4n+4)+8-12=3(n-2)2-4>0,  ha  n4,
tehát
2P>(n-2)3azazn<2P13+2.
Összefoglalva:
2P13+1<n<2P13+2.

Egyenletünknek egész számú megoldása csak akkor lehet, ha 2P egész szám, de nem egész számnak a köbe; ha pedig van egész számú megoldása, akkor
n=E(2P13)+2,
ahol E(2P13) a 2P13 egész szám része. Az adott esetben
n=E(169013)+2=11+2=13
valóban megfelel.
 

Bartha Buresch Arisztid (Berzsenyi rg. VI. o. Bp.)
Róth György (Dobó István r. VI. o. Eger)