Feladat: 762. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Adler Gy. ,  Blahovits Gy. ,  Bodó L. ,  Faragó P. ,  Jász L. ,  Kratky J. ,  Ottinger Gy. ,  Pick Gy. ,  Rachl T. ,  Róth Gy. ,  Semtei J. ,  Varga Z. ,  Verebély László 
Füzet: 1933/január, 129 - 130. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Súlyvonal, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Párhuzamos szelők tétele, Háromszögek szerkesztése, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1932/november: 762. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen ABC a keresett háromszög, melynek adott oldalai AC és BC; súlyvonalai, AA1 és BB1 az S pontban metszi egymást. Húzzunk B1-ből az AA1-gyel párhuzamost, mely BC oldalt a D-pontban metszi.

 
 

Ekkor
CD:CA1=CB1:CA,azaz  CD:a2=1:2,tehátCD=a4;BD=3a4.

Ha AA1BB1, akkor B1DBB1, azaz a B1 pont a BD átmérő felett rajzolt félkörön fekszik.
Ezek szerint a szerkesztés: tetszőleges egyenesre rámérjük a BA1=A1C=a2 darabokat és kijelöljük az A1C felezési pontját, D-t. Ezután BD mint átmérő fölé félkört rajzolunk; ezt a C körül a2 sugárral vont kör a B1-ben metszi. CB1 meghosszabbítására felmérjük a B1A=CB1 távolságot; ABC lesz a keresett háromszög.
Ennek két oldala valóban megadott a és b hosszúságok: csak azt kell még bizonyítanunk, hogy AA1BB1.
Szerkesztés szerint,
BA1:BD=a2:3a4=2:3.
A súlyvonalak tulajdonságából folyik:
BS:BB1=2:3.
Egybevetve ezen két aránypárt:
BS:BB1=BA1:BD,
amiért B1DSA1AA1. De B1DBB1 és így AA1BB1.
 

Verebély László (Kegyesrendi g. VI. o. Bp.)
 

Jegyzet: A szerkesztés lehetséges, ha a C körül b2 sugárral vont kör metszi a BD átmérő fölé szerkesztett félkört, tehát, ha
a>b2>a4,azaz2a>b>a2.

Ezt még úgy is kifejezhetjük, hogy az a és b oldalak bármelyike a másik felénél nagyobb tartozik lenni.