Kezdőlap


Feladat:	747. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél E. , Alder Gy. , Berkovics S. , Blahovits Gy. , Brill Gy. , Brügler B. , Csanádi Gy. , Csépény Klára , Czégé I. , Döring A. , Fábián Antonia , Fodor J. , Füves I. , Gergely János , Gyúró Melinda , Hirschler Z. , Homor P. , Huber Margit , Hümpfner Olga , Jász L. , Kemény K. , Kováts E. , Kratky J. , Krausz J. , Kürthy Ö. , Lukács L. , Madár J. , Magyar K. , May L. , Mészáros I. , Ottinger G. , Papp Margit , Pick Gy. , Pinezich Magdolna , Polyóka L. , Prodán M. , Pulay M. , Róth Alice , Schütz Piroska , Singer I. , Szatzlauer Gy. , Szép L. , Szikszay J. , Thezarovich E. , Turda E. , Vajda Gy. , Varga Z. , Vozáry Pál , Ökrös J.
Füzet:	1932/december, 85 - 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Egész együtthatós polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1932/október: 747. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az adott egyenlet baloldalán a kijelölt műveleteket végrehajtjuk és $x$ hatványai szerint rendezünk; így az

\begin{matrix} (A + B + C) x^{2} - (8 A + 12 B + 10 C) x + 15 A + 35 B + 21 C = 8 x - 120 \end{matrix}

(1)

egyenlethez jutunk. Ez akkor áll fenn

x

minden értéke mellett, ha a megfelelő tagok együtthatói egyenlők, azaz:

\begin{matrix} A + B + C = 0, & (2) \\ - (8 A + 12 B + 10 C) = 8, & (3) \\ 15 A + 35 B + 21 C = - 120. & (4) \end{matrix}

A (3) egyenlet írható így:

\begin{matrix} 4 A + 6 B + 5 C = - 4. \end{matrix}

(3a)

C

értékét (2)-ből kifejezzük és (3a), ill. (4)-be helyettesítjük, keletkezik

\begin{matrix} - A + B = - 4, & (5) \\ - 6 A + 14 B = - 120, \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} - 3 A + 7 B = - 60. \end{matrix}

(6)

(5)-ből

B = A - 4

; helyettesítve ezt (6)-ba:

\begin{matrix} - 3 A + 7 A - 28 = - 60; innen 4 A = - 32 és A = - 8. \end{matrix}

Ekkor

B = - 12

és (2) szerint

C = 20

A

B

C

ezen értékeivel az adott egyenlet

x

minden értékénél fennáll, vagyis azonossággá válik.

Vozáry Pál (Klauzál Gábor rg. VI. o. Szeged)

II. Megoldás. Két másodfokú kifejezés azonos, ha

x

-nek három értékét helyettesítve, a helyettesítési értékük egyenlő. Tehát pl., ha

x = 0

helyettesítünk mindkét oldalon:

\begin{matrix} 15 A + 35 B + 21 C = 120 \end{matrix}

\begin{matrix} x = 1 helyettesítéssel: & 8 A + 24 B - 12 C = - 112 & vagy & 2 A + 6 B + 3 C = - 28, \\ x = - 1'' & 24 A + 48 B + 32 C = - 128 & vagy & 3 A + 6 B + 4 C = - 16. \end{matrix}

Ezen egyenletrendszer megoldása:

A = - 8

B = - 12

C = 20

Gergely János (Berzsenyi Dániel rg. V. o. Bp.)