Kezdőlap


Feladat:	704. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Abonyi A. , Baneth L. , Bihari I. , Buresch R. , Farkas E. , Farkas V. , Giesser Gy. , Gyarmati B. , Jahoda Antal , Jász L. , Kádár E. , Kaiser F. , Kalán J. , Kálmán E. , Kaufmann I. , Kepes J. , Kurz F. , Kürti J. , Lakner Gy. , Manner L. , Megyery E. , Papp G. , Pataki E. , Réffy K. , Repper I. , Scheffer K. , Schwarcz Á. , Singer I. , Spitz M. , Stekler E. , Stolcz T. , Szabó I. , Széll G. , Túri P. , Vona Gy. , Weisz D. , Weiszfeld E.
Füzet:	1932/április, 218 - 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometria, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1932/február: 704. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $tg x = t$ , tehát

\begin{matrix} tg 2 x = \frac{2 t}{1 - t^{2}} és tg 3 x = \frac{3 t - t^{3}}{1 - 3 t^{2}}^{1} . \end{matrix}

¹
Így a következő egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} t + \frac{2 t}{1 - t^{2}} = \frac{3 t - t^{2}}{1 - 3 t^{2}} . \end{matrix}

Ezen egyenletnek egyik gyöke nyilván

t = 0

; ehhez

x = k π

értékek tartoznak (ahol

k

bármely poz. vagy neg. egész szám, illetőleg zérus).

t

-vel való osztás után keletkezik:

\begin{matrix} 1 + \frac{2}{1 - t^{2}} = \frac{3 - t^{2}}{1 - 3 t^{2}} vagyis \frac{3 - t^{2}}{1 - t^{2}} = \frac{3 - t^{2}}{1 - 3 t^{2}} ill. (3 - t^{2}) t^{2} = 0. \end{matrix}

Tehát ismét:

t = 0

ill.

t^{2} - 3 = 0

, azaz

t = \pm \sqrt[]{3}

.
Utóbbi

t

értékeknél:

x = \pm \frac{π}{3} + k π

.

Eszerint az adott egyenlet gyökeinek oly ívek felelnek meg (az egységsugarú körön), amelyeknek végpontjai egy szabályos hatszög csúcsai.

Jahoda Antal (Szent László rg. VII. o. Bp. XI.)

tg 3 x = tg (2 x + x) = \frac{tg 2 x + tg x}{1 - tg 2 x tg x} = \frac{\frac{2 t}{1 - t^{2}} + t}{1 - \frac{2 t}{1 - t^{2}} \cdot t} = \frac{3 t - t^{3}}{1 - 3 t^{2}}