Kezdőlap


Feladat:	677. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Asztalos E. , Baneth L. , Bauer Gy. , Csillag Albert , Csurgói ref. rg. V. o. , Czégé I. , Deutsch E. , Fejér I. , Hümpfner Olga , Jász L. , Kaiser F. , Kajos J. , Kaufmann I. , Kurz F. , Müller P. , Ottinger Gy. , Pikler F. , Pintér Gy. , Pulay M. , Róth Gy. , Semadam E. és K. , Singer G. , Strasser P. , Széll G. , Vozáry P. , Weisz D. , Weiszfeld E. , Widder Magda , Zoldán E. , Zsenaty Emilia , Ökrös J.
Füzet:	1932/február, 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/december: 677. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltehetjük, hogy az $a, b, c$ számok egymástól különbözők; ha kettő közülük egyenlő lenne, akkor két egyenletünk megegyeznék és így a $3$ ismeretlen meghatározására csak két egyenletünk volna, tehát határozatlansággal lenne dolgunk.
Az (1) egyenlet tagjaiból a (2) megfelelő tagjait kivonva és azután $(a - b)$ -vel egyszerűsítve (minthogy $a \neq b$ ):

\begin{matrix} (b - a) y + (a^{2} - b^{2}) z = a^{3} - b^{3}, ill. - y + (a + b) z = a^{2} + a b + b^{2} . \end{matrix}

(4)

Az (1) tagjaiból a (3) megfelelő tagjait vonjuk ki és azután

(a - c)

-vel egyszerűsítünk

(a \neq c)

\begin{matrix} (c - a) y + (a^{2} - c^{2}) z = a^{3} - c^{3} ill. - y + (a + c) z = a^{2} + a c + c^{2} . \end{matrix}

(5)

Most már a (4) és (5) megfelelő tagjainak kivonása és

(b - c)

-vel való egyszerűsítés után

(b \neq c)

\begin{matrix} (b - c) z = a (b - c) + b^{2} - c^{2}, tehát z = a + b + c . \end{matrix}

(6)

z

ezen értékét (4)-be helyettesítve:

\begin{matrix} - y + (a + b) (a + b + c) = a^{2} + a b + b^{2} és y = a b + a c + b c . \end{matrix}

(7)

y

és

z

értékét az (1)-be helyettesítve:

\begin{matrix} x - a (a b + a c + b c) + a^{2} (a + b + c) = a^{3}, tehát x = a b c . \end{matrix}

(8)

Csillag Albert (Ág. ev. g. V. Bp.)