Kezdőlap


Feladat:	666. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Asztalos E. , Beck E. , Brill Gy. , Buresch R. , Csurgói ref. gimn. V. , Deutsch E. , Ehrlich J. , Engel L. , Fejér I. , Hümpfner Olga , Jász Lajos , Kaiser F. , Kisjókai Takács Gy. , Kurz F. , Lévay Károly , Paskusz S. , Pintér Gy. , Róth Gy. , Ruhmann M. , Siegler I. , Singer G. , Singer I. , Szabó G. , Szántó I. , Széll G. , Weiszfeld E. , Widder Magda , Zoldán E. , Zsenaty Emilia
Füzet:	1932/január, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímszámok, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/november: 666. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Minthogy

\begin{matrix} t = \frac{x + 3}{x - 2} = \frac{(x - 2) + 5}{x - 2} = 1 + \frac{5}{x - 2}, \end{matrix}

a tört értéke egész, ha

x - 2

5

osztója. Két eset lehetséges:
a)

x - 2 = 1

, tehát

x = 3

és így

\frac{3 + 3}{3 - 2} = 6

.
b)

x - 2 = 5

, azaz

x = 7

és most

\frac{7 + 3}{7 - 2} = 2

2^{\circ}

. A szóban forgó tört irreducibilis, ha a számlálónak és nevezőnek nincs közös osztójuk, tehát

x + 3

és

x - 2

relatív prímszámok. Azonban

x + 3

és

x - 2

minden közös osztója a két szám különbségének is osztója, t. i.

x + 3 - (x - 2) = 5

-nek; kell tehát, hogy

x - 2

ne legyen az

5

többszöröse, azaz ki kell zárnunk az

\begin{matrix} x - 2 = 5 k, ill. x = 5 k + 2 \end{matrix}

értékeket; minden más szám tekintetbe jöhet, de csak úgy, ha

x > 3

. Így lehet:

\begin{matrix} x = 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13 ... \end{matrix}

és

\begin{matrix} t = \frac{7}{2}, \frac{8}{3}, \frac{9}{4}, \frac{11}{6}, \frac{12}{7}, \frac{13}{8}, \frac{14}{9}, \frac{16}{11} ... \end{matrix}

Lévay Károly (Balassa Bálint rg. VI. o. Balassagyarmat)