Kezdőlap


Feladat:	660. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Asztalos E. , Beck E. , Böhm Anna , Csurgói ref rg. V. osztálya , Czégé I. , Deutsch E. , Ehrlich J. , Győri I. , Hajós P. , Hiros F. , Jász L. , Kaiser F. , Karsay S. , Kaufmann István , Kertész F. , Kurz F. , Lakatos D. , Lévay K. , Papp S. , Paskusz J. , Pikler F. , Pimper Á. , Pintér Gy. , Pulay M. , Reiter Gy. , Róth Gy. , Róth Sára , Rudas K. , Semadam E. és K. , Taskó Gy. , Tóth B. , Túri S. , Vámos Ilona , Weisz D. , Weiszfeld E. , Widder Magdolna , Zoldán E. , Zsenaty Emilia
Füzet:	1931/december, 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/október: 660. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a másodfokú egyenlet egyik gyöke $x_{1}$ , a másik $x_{2} = 2 x_{1}$ akkor

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 3 x_{1} = \frac{18 (k - 1)}{9} \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} x_{1} x_{2} = 2 x_{1}^{2} = \frac{24 - 8 k}{9} . \end{matrix}

(2)

(1)-ből

x_{1} = \frac{2 (k - 1)}{3}

. Ha ezt (2)-be helyettesítjük:

\begin{matrix} 2 \frac{{(k - 1)}^{2}}{9} = \frac{24 - 8 k}{9} vagyis rendezve: k^{2} - k - 2 = 0. \end{matrix}

(3)

A (3) egyenlet gyökei:

k_{1} = 2

k_{2} = - 1

\begin{matrix} Ha & k_{1} = 2, & akkor az & adott & egyenlet & gyökei^{1}: & x_{1} = \frac{2}{3}, x_{2} = \frac{4}{3} . \\ Ha & k_{2} = - 1, & ,, & ,, & ,, & ,,     : & x_{1} = - \frac{4}{3}, x_{2} = - \frac{8}{3} . \end{matrix}

Kaufmann István (Dugonics András g. VI. o. Szeged)

¹Az (1) szerint számítva. Ha

k

értékét az adott egyenletbe helyettesítjük

\begin{matrix} 9 x^{2} - 18 x + 8 = 0 és 9 x^{2} + 36 x + 32 = 0 \end{matrix}

egyenleteket kapjuk és ezek közvetlen megoldásával is igazolhatjuk a megoldás helyességét.