Kezdőlap


Feladat:	636. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ehrlich J. , Emődi M. , Erdélyi Erna , Farkas V. , Gonda H. , Hegedüs T. , Hümpfner Olga , Jahoda A. , Kalán J. , Kepes J. , Lehel P. , Megyery E. , Papp G. , Pataki Zs. , Réffy K. , Rosta F. , Róth Gy. , Semadam K. , Singer I. , Stekler E. , Stolcz T. , Weiszfeld E.
Füzet:	1931/október, 30 - 31. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Azonosságok, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/május: 636. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy

\begin{matrix} x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1), \end{matrix}

a megadott azonos egyenlet így is írható:

\begin{matrix} \frac{x^{3}}{x^{4} + x^{2} + 1} \equiv \frac{(A x + B) (x^{2} - x + 1) + (C x + D) (x^{2} + x + 1)}{x^{4} + x^{2} + 1} . \end{matrix}

Minthogy a nevezők egyenlők, a számlálók is egyenlők tartoznak lenni; ha a jobboldalon kijelölt szorzásokat végrehajtjuk és

x

hatványai szerint rendezünk, lesz:

\begin{matrix} x^{3} \equiv (A + C) x^{3} + (B + C + D - A) x^{2} + (A - B + C + D) x + (B + D) . \end{matrix}

Ezen azonosság csak úgy állhat fenn, ha

x

egyenlő kitevőjű hatványaihoz mindkét oldalon egyenlő együtthatók tartoznak, tehát, ha:

\begin{matrix} A + C & = 1; & (1) \\ B + C + D - A & = 0; & (2) \\ A - B + C + D & = 0; & (3) \\ B + D & = 0. & (4) \end{matrix}

(2)-ből és (4)-ből:

\begin{matrix} A - C = 0. \end{matrix}

(6)

Most már (6)-ból és (1)-ből:

\begin{matrix} A = C = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Másrészt (1)-ből és (3)-ból:

\begin{matrix} B - D = 1. \end{matrix}

(7)

(7)- és (4)-ből:

\begin{matrix} B = \frac{1}{2}, D = - \frac{1}{2} . \end{matrix}

Ezek tekintetbevételével:

\begin{matrix} \frac{x^{3}}{x^{4} + x^{2} + 1} \equiv \frac{x + 1}{2 (x^{2} + x + 1)} + \frac{x - 1}{2 (x^{2} - x + 1)} . \end{matrix}

Hümpfner Olga (Szent-Orsolyarendi leányg. IV. o. Sopron).