Kezdőlap


Feladat:	633. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Alpár L. , Csepeti J. , Csikós Nagy B. , Ehrlich J. , Gerber Zs. , Holczmann V. , Kohner A. , Megyery E. , Prém L. , Rosta F. , Stekler E. , Zsoldos P.
Füzet:	1931/szeptember, 9 - 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Koszinusztétel alkalmazása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/április: 633. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen adva $a$ , $b$ és $α$ . A cosinus-tételt az $a$ oldalra alkalmazva

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α . \end{matrix}

(1)

Ezen egyenletben

c

az ismeretlen;

c

-re nézve tehát a kővetkező másodfokú egyenlet áll elő:

\begin{matrix} c^{2} - 2 b cos α \cdot c + (b^{2} - a^{2}) = 0. \end{matrix}

(2)

I. Ha

a > b

, akkor

b^{2} - a^{2} < 0

; ezen esetben (2)-nek mindig valósak a gyökei és ezek ellenkező előjelűek. Természetesen csak a pozitív gyök felel meg a geometriai feladatnak.
Ha tehát adva van két oldal és a nagyobbikkal szemben fekvő szög, akkor egy és csakis egy háromszög létezik, amely megfelel.
II. Legyen

a < b

, tehát

b^{2} - a^{2} > 0

. Ebben az esetben, ha valósak a gyökök; mind a kettő pozitív és így mind a kettő megfelel. Hogy a (2) gyökei valósak legyenek, szükséges és elegendő, hogy legyen

\begin{matrix} 4 b^{2} {cos}^{2} α - 4 (b^{2} - a^{2}) ≧ 0, vagyis a^{2} - b^{2} (1 - {cos}^{2} α) ≧ 0. \end{matrix}

Minthogy

1 - {cos}^{2} α = {sin}^{2} α

, feltételünk

\begin{matrix} a ≧ b sin α \end{matrix}

alakban fejezhető ki. összekapcsolva a kiindulás feltételével:

\begin{matrix} b sin α ≦ a < b . \end{matrix}

Eszerint ha adva van két oldal és a kisebbikkel szemben fekvő szög, két különböző háromszöget kapunk, ha

\begin{matrix} b sin α < a < b . \end{matrix}

A két háromszög egybeesik és derékszögű háromszöggé válik, ha

\begin{matrix} b sin α = a . \end{matrix}

Nem létezik háromszög, ha a

\begin{matrix} a < b sin α . \end{matrix}

III. Ha

b = a

, akkor a (2) egyenlet

\begin{matrix} c^{2} - 2 a cos α \cdot c = 0, ill. c (c - 2 a cos α) = 0 \end{matrix}

alakot veszi fel és innen

c_{1} = 0

c_{2} = 2 a cos α

. Minthogy most

α < 90^{\circ}

c_{2}

megfelel és csakis ezen egy megoldás jöhet tekintetbe.