Kezdőlap


Feladat:	628. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bucsy J. , Deutsch Ervin , Erdélyi Erna , Jahoda A. , Kádár E. , Kurz E. , Megyery E. , Megyesi P. , Rab J. , Réffy K. , Reiter György , Semadam E. és K. , Singer I. , Stekler E. , Stolcz T. , Szőcs I. , Tabak L. , Ther J. , Weiszfeld E. , Widder Magdolna , Zsenaty Emilia
Füzet:	1931/szeptember, 6. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/április: 628. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az adott egyenlet mindkét oldalán köbre emelve:

\begin{matrix} {(x + a)}^{2} + 64 {(a - x)}^{2} + 12 \sqrt[3]{{(x + a)}^{2} {(a - x)}^{2}} [\sqrt[3]{{(x + a)}^{2}} + 4 \sqrt[3]{{(a - x)}^{2}}] = 125 (a^{2} - x^{2}) \end{matrix}

A szögletes zárójelben álló kifejezést az eredeti egyenlet által megadott értékével helyettesítve:

\begin{matrix} {(x + a)}^{2} + 64 {(a - x)}^{2} + 60 \sqrt[3]{{(x + a)}^{2} {(a - x)}^{2} (a^{2} - x^{2})} = 125 (a^{2} - x^{2}) \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} {(x + a)}^{2} + 64 {(a - x)}^{2} + 60 (a^{2} - x^{2}) = 125 (a^{2} - x^{2}) \end{matrix}

Kifejtés és összevonás után:

\begin{matrix} 130 x^{2} - 126 a x = 0. \end{matrix}

Ezen egyenlet gyökei:

\begin{matrix} x_{1} = 0 és x_{2} = \frac{63}{65} a . \end{matrix}

Az eredeti egyenletbe való helyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy mind a kettő kielégíti azt.

Deutsch Ervin (Faludi Ferenc r. V. o. Szombathely.)

II. Megoldás.

x = + a

és

x = - a

az adott egyenletet nem elégítik ki. Osszunk tehát mindkét oldalon

\sqrt[3]{a^{2} - x^{2}}

-el, lesz:

\begin{matrix} \sqrt[3]{\frac{a + x}{a - x}} + \sqrt[3]{\frac{a - x}{a + x}} = 5 \end{matrix}

Ha most

\sqrt[3]{\frac{a + x}{a - x}} = y

, akkor

\begin{matrix} y + \frac{4}{y} = 5, azaz y^{2} - 5 y + 4 = 0 \end{matrix}

és innen

y_{1} = 1

y_{2} = 4

. Ha

\begin{matrix} \sqrt[3]{\frac{a + x}{a - x}} = 1, vagyis \frac{a + x}{a - x} = 1, akkor x = 0. \end{matrix}

\begin{matrix} \sqrt[3]{\frac{a + x}{a - x}} = 4, vagyis \frac{a + x}{a - x} = 64, akkor x = \frac{63}{65} a . \end{matrix}

Reiter György (Dugonics András g. V. o. Szeged.)