Kezdőlap


Feladat:	627. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Deutsch E. , Hegedüs T. , Kürti J. , Lehel Péter , Megyery E. , Pintér Gy. , Semadam E. és K. , Stekler E. , Weiszfeld E.
Füzet:	1931/szeptember, 5. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/április: 627. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott egyenletek mindegyike $x$ és $y$ -ra nézve elsőfokú; két egyenletből kifejezzük $x$ és $y$ értékét, mint $z$ függvényét és a harmadik egyenletbe helyettesítjük ezeket, miáltal $z$ -re kapunk egyenletet. (3)-ból

\begin{matrix} x = y - 2 z . \end{matrix}

Helyettesítve ezt (2)-be:

\begin{matrix} 3 z (y - 2 z) - y z + y = 0 vagy y (2 z + 1) = 6 z^{2} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} y = \frac{6 z^{2}}{2 z + 1}; x = \frac{6 z^{2}}{2 z + 1} - 2 z = \frac{2 z^{2} - 2 z}{2 z + 1} . \end{matrix}

x

és

y

ezen kifejezéseit (1)-he helyettesítve:

\begin{matrix} \frac{2 z^{2} (z - 1)}{2 z + 1} - \frac{18 z^{3}}{2 z + 1} + \frac{2 z (z - 1)}{2 z + 1} = 0, ill. \frac{2 z (8 z^{2} + 1)}{2 z + 1} = 0. \end{matrix}

Utóbbi egyenletet, ha valós számról van szó, csak

z = 0

elégíti ki; ezzel azonban

x = 0

és

y = 0

.
Egyenletrendszerünknek más valós megoldása, mint

x = y = z = 0

, nincsen.

Lehel Péter (ág. ev. g. VI. o. Bp.)

Jegyzet. Néhány dolgozat nem találhatta meg az egyenletrendszer valós megoldását, mert az utolsó egyenletet ,,

z

-vel egyszerűsítik''. Már több ízben utaltunk arra, hogy oly tényezővel való egyszerűsítés, mely az ismeretlent tartalmazza, ez egyenlet egy, ill. több gyökének elsikkasztását jelenti.