Feladat: 624. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Alberti I. ,  Baneth L. ,  Bucsy J. ,  Csepeti J. ,  Deutsch E. ,  Eisner F. ,  Erdélyi Erna ,  Gonda H. ,  Hegedűs T. ,  Hiros F. ,  Hohmann K. ,  Hümpfner Olga ,  Kádár Endre ,  Kálmán E. ,  Kurz F. ,  Kürti J. ,  Lehel P. ,  Megyery E. ,  Papp G. ,  Réffy K. ,  Rosta F. ,  Róth Sz. ,  Semadam E. és K. ,  Singer I. ,  Stekler Ede ,  Stolcz T. ,  Szabó I. ,  Szőcs I. ,  Váradi L. ,  Vas I. ,  Weiszfeld E. ,  Zoldán E. ,  Zsemlye Erzsébet 
Füzet: 1931/szeptember, 2 - 3. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Műveletek polinomokkal, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1931/április: 624. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Végezzük el az

(x2+1)(x+2)=x3+2x2+x+2
szorzattal az osztást (úgy, mintha az m, n, p megadott számok lennének); a hányados x+1 és a maradék
(m-3)x2-(n-3)x+p-2.

Az oszthatóság feltétele, hogy ezen maradék az x minden értékénél zérus legyen*, tehát kell, hogy
m-3=0,n-3=0,p-2=0
és így
m=3,n=3,p=2legyen.
legyen. Így
f(x)x4+3x3+3x2+3x+2=(x2+1)(x+2)(x+1).

Az f(x)=0 egyenlet gyökei az
x2+1=0,x+2=0,x+1=0
egyenletek gyökei:
x1=-1,x2=--1,x3=-2,x4=-1.

Kádár Endre (Szent László rg. VI. o. Bp. X.)
 

II. Megoldás. f(x) negyedfokú, az osztó harmadfokú kifejezés, a hányados tehát elsőfokú, x+a alakú kifejezés tartozik lenni, azaz
x4+3x3+mx2+nx+p(x3+2x2+x+2)(x+a).

Ha a jobb oldalon a szorzást elvégezzük és x hatványai szerint rendezünk, kapjuk:
x4+(a+2)x3+(2a+1)x2+(a+2)x+2a.

Az azonosság azt jelenti, hogy x egyenlő hatványaihoz mindkét oldalon egyenlő együtthatók tartoznak, tehát:
a+2=3,2a+1=m,a+2=n,2a=p
azaz:
a=1,m=3,n=3,p=2.

Stekler Ede (izr. rg. VI. o. Bp.)

*Azonosan zérus legyen.