Kezdőlap


Feladat:	624. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alberti I. , Baneth L. , Bucsy J. , Csepeti J. , Deutsch E. , Eisner F. , Erdélyi Erna , Gonda H. , Hegedűs T. , Hiros F. , Hohmann K. , Hümpfner Olga , Kádár Endre , Kálmán E. , Kurz F. , Kürti J. , Lehel P. , Megyery E. , Papp G. , Réffy K. , Rosta F. , Róth Sz. , Semadam E. és K. , Singer I. , Stekler Ede , Stolcz T. , Szabó I. , Szőcs I. , Váradi L. , Vas I. , Weiszfeld E. , Zoldán E. , Zsemlye Erzsébet
Füzet:	1931/szeptember, 2 - 3. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Műveletek polinomokkal, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/április: 624. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Végezzük el az

\begin{matrix} (x^{2} + 1) (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 \end{matrix}

szorzattal az osztást (úgy, mintha az

m

n

p

megadott számok lennének); a hányados

x + 1

és a maradék

\begin{matrix} (m - 3) x^{2} - (n - 3) x + p - 2. \end{matrix}

Az oszthatóság feltétele, hogy ezen maradék az

x

minden értékénél zérus legyen^{$^{*}$}, tehát kell, hogy

\begin{matrix} m - 3 = 0, n - 3 = 0, p - 2 = 0 \end{matrix}

és így

\begin{matrix} m = 3, n = 3, p = 2 legyen . \end{matrix}

legyen. Így

\begin{matrix} f (x) \equiv x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2 = (x^{2} + 1) (x + 2) (x + 1) . \end{matrix}

f (x) = 0

egyenlet gyökei az

\begin{matrix} x^{2} + 1 = 0, x + 2 = 0, x + 1 = 0 \end{matrix}

egyenletek gyökei:

\begin{matrix} x_{1} = \sqrt[]{- 1}, x_{2} = - \sqrt[]{- 1}, x_{3} = - 2, x_{4} = - 1. \end{matrix}

Kádár Endre (Szent László rg. VI. o. Bp. X.)

II. Megoldás.

f (x)

negyedfokú, az osztó harmadfokú kifejezés, a hányados tehát elsőfokú,

x + a

alakú kifejezés tartozik lenni, azaz

\begin{matrix} x^{4} + 3 x^{3} + m x^{2} + n x + p \equiv (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2) (x + a) . \end{matrix}

Ha a jobb oldalon a szorzást elvégezzük és

x

hatványai szerint rendezünk, kapjuk:

\begin{matrix} x^{4} + (a + 2) x^{3} + (2 a + 1) x^{2} + (a + 2) x + 2 a . \end{matrix}

Az azonosság azt jelenti, hogy

x

egyenlő hatványaihoz mindkét oldalon egyenlő együtthatók tartoznak, tehát:

\begin{matrix} a + 2 = 3, 2 a + 1 = m, a + 2 = n, 2 a = p \end{matrix}

azaz:

\begin{matrix} a = 1, m = 3, n = 3, p = 2. \end{matrix}

Stekler Ede (izr. rg. VI. o. Bp.)

^{$^{*}$}Azonosan zérus legyen.