I. Megoldás. Ki kell mutatnunk, hogy a számlálónak és nevezőnek más közös osztója, mint $1$, nem lehet. Ha ugyanis a $p$ törzsszám közös osztója lenne $\left(2n+1\right)$-nek és $\left(3n+1\right)$-nek, akkor a $p$ szám osztója lenne a $\left(3n+1\right)-\left(2n+1\right)=n$ számnak, tehát k. osztója $\left(2n+1\right)$-nek és $n$-nek. Már most $2n+1$ és $n$ k. osztója $\left(2n+1\right)-n=n+1$-nek, tehát k. osztója $n+1$ és $n$-nek is. Azonban az $n$ és $n+1$ számoknak más k. osztójuk, mint $1$, nem lehet.