Kezdőlap


Feladat:	577. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Babits J. , Balla F. , Bognár F. , Bucsy J. , Csárdás F. , Deutsch E. , Eisner F. , Emődi M. , Friedländer T. , Illés E. , Jahoda A. , Jász L. , Kádár E. , Kaszás Gy. , Kepes J. , Kiss J. , Klein István , Kolma I. , Lakner Gy. , Megyery E. , Megyesi P. , Mester F. , Miseta Gy. , Mitterdorfer Katinka , Murger J. , Nemes A. , Németh B. , Nérei L. , Paskusz S. , Pataki Zs. , Rácz I. , Réffy K. , Repper J. , Rosta F. , Rumi J. , Singer I. , Sohr Anna , Stekler E. , Stolcz T. , Szabó J. , Szőcs I. , Weiszfeld E. , Widder M. , Zsenaty E.
Füzet:	1931/február, 167 - 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1930/december: 577. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Hogy a nevezőt racionálissá alakítsuk, számlálót és nevezőt szorozzuk meg ${(x - \sqrt[]{x^{2} - a^{2}})}^{2}$ -ével. Minthogy

\begin{matrix} (x + \sqrt[]{x^{2} - a^{2}}) (x - \sqrt[]{x^{2} - a^{2}}) = x^{2} - (x^{2} - a^{2}) = a^{2}, \\ \frac{{(x + \sqrt[]{x^{2} - a^{2}})}^{4} - a^{4}}{4 {(x + \sqrt[]{x^{2} - a^{2}})}^{2}} = \frac{{(x + \sqrt[]{x^{2} - a^{2}})}^{4} {(x - \sqrt[]{x^{2} - a^{2}})}^{2} - a^{4} {(x - \sqrt[]{x^{2} - a^{2}})}^{2}}{4 {(x + \sqrt[]{x^{2} - a^{2}})}^{2} {(x - \sqrt[]{x^{2} - a^{2}})}^{2}} = \\ = \frac{a^{4} {(x + \sqrt[]{x^{2} - a^{2}})}^{2} - a^{4} {(x - \sqrt[]{x^{2} - a^{2}})}^{2}}{4 a^{4}} = \frac{4 a^{4} x \sqrt[]{x^{2} - a^{2}}}{4 a^{4}} = x \sqrt[]{x^{2} - a^{2}} . \end{matrix}

Klein István (Baross Gábor r. VI. o. Szeged)

II. Megoldás. Legyen

\sqrt[]{x^{2} - a^{2}} = y

és így

a^{2} = x^{2} - y^{2}

. Kifejezésünk így írható:

\begin{matrix} \frac{{(x + y)}^{4} - {(x^{2} - y^{2})}^{2}}{4 {(x + y)}^{2}} = \frac{{(x + y)}^{2} - {(x - y)}^{2}}{4} = \frac{4 x y}{4} = x y = x \sqrt[]{x^{2} - a^{2}} . \end{matrix}