Feladat: 496. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Alpár L. ,  Barczán E. ,  Bársony S. ,  Biró Ferenc ,  Braun E. ,  Busztin A. ,  Deutsch E. ,  Deutsch I. ,  Ehrlich L. ,  Fischer Gy. ,  Fröhlich K. ,  Gajzágó E. ,  Gárdos Gy. ,  Hegedüs T. ,  Kemény I. ,  Kepes F. ,  Kertész S. ,  Keztyüs I. ,  Kutasy J. ,  Magyar Margit ,  Nánássy Éva ,  Oszifcsin Kató ,  Papp A. ,  Pataky A. ,  Prém L. ,  Róna István ,  Schilling M. ,  Skorka L. ,  Szabó F. ,  Szabolcs F. ,  Székely I. ,  Varga Á. ,  Vezér Gy. 
Füzet: 1930/március, 208. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1930/január: 496. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A szóban forgó másodfokú függvény legyen:

f(x)≡ax2+bx+c.

Az a, b, c együtthatók meghatározására 3 elsőfokú egyenletből álló homogén egyenletrendszerünk van:
ax12+bx1+c=0,(1)ax22+bx2+c=0,(2)ax32+bx3+c=0.(3)

Ezen homogén egyenletrendszert csak az a=b=c=0 értékrendszer elégíti ki. Ugyanis
az (1)-ből és (2)-ből:a(x12-x22)+b(x1-x2)=0.(4)az (1)-ből és (3)-ból:a(x12-x32)+b(x1-x3)=0.(5)

Minthogy x1-x2≠0, és x1-x3≠0, (4)-ben és (5)-ben oszthatunk:
a(x1+x2)+b=0,(4a)a(x1+x3)+b=0.(5a)


(4a) és (5a) megfelelő tagjainak kivonásával:
a(x2-x3)=0.(6)

Minthogy x2-x3≠0, kell hogy a=0 legyen. Ekkor azonban (4a) és (5a) alapján) b=0 és így c=0.
Az f(x) eszerint azonosan zérus.
 

Biró Ferenc (Vörösmarty Mihály r. VI. o. Bp.)
 

II. Megoldás. Ha f(x)=0 az x1 és x2 helyeken, akkor
f(x)≡a(x-x1)(x-x2).

Feltevésünk szerint: f(x3)-a(x3-x1)(x3-x2)=0.
Minthogy x3-x1=0 és x3-x2≠0, kell, hogy a=0 legyen, tehát az f(x) függvény azonosan zérus. A függvény grafikonja az x tengely.
 

Róna István (Kölcsey Ferenc rg. VI. o. Bp. VI.)