Feladat: 397. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Antal Ilona ,  Bakay B. ,  Busztin Anna ,  Böszörményi M. ,  Camhi M. ,  Dénes P. ,  Dux Klára ,  Ernst F. ,  Gábor Gy. ,  Gál L. ,  Gerencsér I. ,  Gohn E. ,  Goldschmidt P. ,  Grosz E. ,  Hazslinszky-Krull Edit ,  Illés Kató ,  Kaufmann I. ,  Klein M. ,  Kmoschek P. ,  Kovács Jenö ,  Kövesdi D. ,  Lang L. ,  Lázár D. ,  Lukács S. ,  Nánási Gy. ,  Polgár Gabriella ,  Rodé Ilona ,  Sándor F. ,  Schvarcz L. ,  Sebők Gy. ,  Simon Á. ,  Szebasztián Rózsa ,  Székely I. ,  Szigritz Gy. ,  Tanczik Klára ,  Waisbecker Jolán ,  Weidlinger P. ,  Zsoldos I. 
Füzet: 1929/március, 194 - 195. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatóság, Polinomok szorzattá alakítása, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1929/január: 397. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

n4+6n3-n2+18n=n4+6n3-n2-6n+24n==n2(n2-1)+6n(n2-1)+24n=(n2+6n)(n2-1)+24n==(n-1)n(n+1)(n+6)+24n.(1)



Valamely összetett szám csak egyféleképpen bontható fel törzstényezők hatványainak szorzatára 1: 24=323.
Az (1) alatti kifejezés második tagja 24n a 24 többszöröse; azt kell csak kimutatnunk, hogy az
(n-1)n(n+1)(n+6)
szorzat osztható 3-mal és 23-ével!
n-1, n, n+1 három egymásután következő szám; ezek valamelyike osztható 3-mal.
Ha n páratlan szám, akkor n-1 és n+1 egymásután következő páros számok; ezek egyike osztható 4-gyel, tehát szorzatuk 24=8-cal.
Ha n páros szám, amely 8-cal is osztható, a tétel igazolva van. Ha azonban n nem osztható 8-cal, akkor az
n  és  n+6=(n+2)+4
páros számok egyike osztható 4-gyel, tehát a szorzatuk osztható 23=8-cal.
 

Kovács Jenő (áll. reál VI. o. Szombathely)

1Ezen fontos tétel bizonyítása megtalálható Kürschák ,,Matematikai versenytételek'' c. munkájában.