Feladat:	397. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal Ilona ,  Bakay B. ,  Busztin Anna ,  Böszörményi M. ,  Camhi M. ,  Dénes P. ,  Dux Klára ,  Ernst F. ,  Gábor Gy. ,  Gál L. ,  Gerencsér I. ,  Gohn E. ,  Goldschmidt P. ,  Grosz E. ,  Hazslinszky-Krull Edit ,  Illés Kató ,  Kaufmann I. ,  Klein M. ,  Kmoschek P. ,  Kovács Jenö ,  Kövesdi D. ,  Lang L. ,  Lázár D. ,  Lukács S. ,  Nánási Gy. ,  Polgár Gabriella ,  Rodé Ilona ,  Sándor F. ,  Schvarcz L. ,  Sebők Gy. ,  Simon Á. ,  Szebasztián Rózsa ,  Székely I. ,  Szigritz Gy. ,  Tanczik Klára ,  Waisbecker Jolán ,  Weidlinger P. ,  Zsoldos I.
Füzet:	1929/március, 194 - 195. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Polinomok szorzattá alakítása, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1929/január: 397. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle n^4+6n^3-n^2+18n=n^4+6n^3-n^2-6n+24n=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =n^2\left(n^2-1\right)+6n\left(n^2-1\right)+24n=\left(n^2+6n\right)\left(n^2-1\right)+24n=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+6\right)+24n\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\end{array}}$ Valamely összetett szám csak egyféleképpen bontható fel törzstényezők hatványainak szorzatára 1: $24=3\cdot 2^3$. Az (1) alatti kifejezés második tagja $24n$ a 24 többszöröse; azt kell csak kimutatnunk, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+6\right)}\end{array}$ szorzat osztható 3-mal és $2^3$-ével! $n-1$, $n$, $n+1$ három egymásután következő szám; ezek valamelyike osztható 3-mal. Ha $n$ páratlan szám, akkor $n-1$ és $n+1$ egymásután következő páros számok; ezek egyike osztható 4-gyel, tehát szorzatuk $2\cdot 4=8$-cal. Ha $n$ páros szám, amely 8-cal is osztható, a tétel igazolva van. Ha azonban $n$ nem osztható 8-cal, akkor az $\begin{array}{c}{\displaystyle n\text{ és }n+6=\left(n+2\right)+4}\end{array}$ páros számok egyike osztható 4-gyel, tehát a szorzatuk osztható $2^3=8$-cal.   Kovács Jenő (áll. reál VI. o. Szombathely) 1Ezen fontos tétel bizonyítása megtalálható Kürschák ,,Matematikai versenytételek'' c. munkájában.