Kezdőlap


Feladat:	391. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakay B. , Beke I. , Csiky J. , Déry E. , Dux Klára , Ernst F. , Goldschmidt P. , Holczinger István , Klein I. , Liebermann J. , Radó Gy. , Sebők Gy. , Szebasztián Rózsa
Füzet:	1929/február, 169 - 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/december: 391. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek $x$ és $y$ egész számok úgy, hogy

\begin{matrix} 5 x - 1 = y^{2} ill. x = \frac{y^{2} + 1}{5} . \end{matrix}

y

5

-tel való oszthatóság szempontjából

\begin{matrix} y = 5 u + r \end{matrix}

alakban írható, ahol

0 ≦ r < 5

\begin{matrix} y^{2} + 1 = 25 u^{2} + 10 u r + r^{2} + 1 = 5 M + r^{2} + 1 \end{matrix}

x

egész szám lesz, ha

\begin{matrix} r^{2} + 1 = 5 m . \end{matrix}

Ezen eset nyilván előáll, ha

r = 2

vagy

r = 3

. Ezt a két esetet azonban úgy is egybe foglalhatjuk, hogy

r = \pm 2

. Most már

\begin{matrix} x = \frac{{(5 u \pm 2)}^{2} + 1}{5} = \frac{25 u^{2} \pm 20 u + 5}{5} = 5 u^{2} \pm 4 u + 1 \end{matrix}

u

helyébe tetszőleges egész számot, ill. zérust is tehetünk.
Minthogy

{(5 u - 2)}^{2} = {(2 - 5 u)}^{2}

, mondhatjuk, hogy

{(5 u + 2)}^{2}

is ugyanezen értékeket szolgálja, ha

u

negatív, amint ezt az

x

végleges alakjából is kiolvashatjuk. Az

\begin{matrix} x = 5 u^{2} + 4 u + 1 \end{matrix}

ugyanazon egész számok sorozatát nyújtja, mint

\begin{matrix} x = 5 u^{2} - 4 u + 1, \end{matrix}

ha t.i.

u

Felvesz minden neg. és poz. egész számú értéket, ill. zérust is. Az

\begin{matrix} x = 5 u^{2} \pm 4 u + 1 \end{matrix}

függvény értékkészlete csupa pozitív számból áll, mert a diszkriminánsa:

16 - 20 < 0

és

u^{2}

együtthatója pozitív szám.

Holczinger István (kegyesrendi g. VII. o. Bp.)