Kezdőlap


Feladat:	370. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakay B. , Bauer J. , Berkovits A. , Budó Á. , Böszörményi M. , Csipkay Gy. , Dux Klára , Előd G. , Erdély Erzsi , Ernst F. , Farkas Z. , Fröhlich K. , Gál L. , Gerber Edit , Gerencsér I. , Gohn E. , Klein Béla , Kmoschek P. , Mitnyán L. , Mitterdorfer Katinka , Radnai P. , Schlesinger L. , Sebők Gy. , Simon Á. , Szabó Piroska , Weidlinger P. , Zsoldos I.
Füzet:	1928/december, 100. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/október: 370. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az (1) és (2) egyenletekből kiszámíthatjuk az ismeretlenek viszonyát; úgy is mondhatjuk, hogy $x$ és $y$ értékét kifejezzük $z$ -vel és az így nyert értékeket a (3)-ba helyettesítjük. (1)-ből és (2)-ből

\begin{matrix} x : y : z = (b - c) : (c - a) : (a - b); vagyis y = \frac{c - a}{a - b} z és x = \frac{b - c}{a - b} z . \end{matrix}

Helyettesítve ezeket (3)-ba és

(a - b)

-vel tagonként szorozva, lesz:

\begin{matrix} [b c (b - c) + c a (c - a) + a b (a - b)] z = a - b . \end{matrix}

A szögletes zárójelen belül álló első két tagot átalakítjuk:

\begin{matrix} b c (b - c) + c a (c - a) = c^{2} (a - b) - c (a^{2} - b^{2}) = (a - b) [c^{2} - c (a + b)] . \end{matrix}

Tehát:

\begin{matrix} {(a - b) [c^{2} - c (a + b)] + a b (a - b)} z = a - b \end{matrix}

\begin{matrix} {(a - b) [c^{2} - c (a + b)] + a b (a - b)} z = a - b \end{matrix}

(a - b)

-vel egyszerűsítve:

\begin{matrix} z = \frac{1}{c^{2} - c (a + b) + a b} = \frac{1}{(c - a) (c - a)}; \end{matrix}

per analogiam:

\begin{matrix} x = \frac{1}{a^{2} - a (b + c) + b c} = \frac{1}{(a - b) (a - c)}; y = \frac{1}{b^{2} - b (c + a) + c a} = \frac{1}{(b - c) (b - a)} . \end{matrix}

a = b \neq c

, akkor

az (1)-ből

\begin{matrix} x + y = - z; \end{matrix}

a (2)-ből

\begin{matrix} x + y = - \frac{c}{a} z . \end{matrix}

Az (1) és (2) egyenleteket kielégítik a

z = 0

és

x + y = 0

értékrendszerek és csakis ezek; de ezek nem elégítik ki a (3)-at. Ugyanis az

a = b \neq c

esetben a (3) így írható:

\begin{matrix} c (x + y) + a z = \frac{1}{a} . \end{matrix}

a = b = c

, akkor az (1) és (2) csak egy numerikus tényezőben különbözik egymástól, lényegileg egy egyenlettel van dolgunk. A (3) pedig

\begin{matrix} x + y + z = \frac{1}{a^{2}} . \end{matrix}

alakot veszi fel, mely az előbbi

x + y + z = 0

egyenlettel ellenmondó.
Eszerint mind a két esetben ellenmondó rendszerrel van dolgunk; nincs olyan véges értékcsoport, mely mind a három egyenletet kielégítené.

Klein Béla (Kölcsey Ferenc rg. VI. o. Bp. VI.)