Kezdőlap


Feladat:	353. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakay B. , Barok Gy. , Beck M. , Beke István , Berger Magda , Bolgár Gy. , Buzna V. , Böhm Erika , Déry E. , Dvorzsák Zs. , Erdélyi L. , Erdős Pál , Etre S. , Feldheim Ervin , Grossmann S. , Grünwald Gy. , Hajós György , Hapka I. , Holczinger I. , Jacobi A. , Jánky Mária , Jónás P. , Jurenák D. , Kiss Gy. , Klein T. , Kohn P. , Ligeti M. , Lindtner P. , Pápay M. , Perneczky B. , Radó Gy. , Rappaport D. , Schwarcz E. , Sebestyén J. , Soldinger J. , Soos G. , Sréter J. , Straubert J. , Székely Gy. , Székely Lilly , Szomor F.
Füzet:	1928/október, 42 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometria, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/május: 353. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás.
$\begin{matrix} 1^{\circ} . & sin α + sin β - sin γ = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2} - 2 sin \frac{γ}{2} cos \frac{γ}{2} = \\ = 2 cos \frac{γ}{2} cos \frac{α - β}{2} - 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{γ}{2} = 2 cos \frac{γ}{2} (cos \frac{α - β}{2} - cos \frac{α + β}{2}) \\ = 2 cos \frac{γ}{2} (- 2 sin \frac{α}{2} sin \frac{- β}{2}) = 4 sin \frac{α}{2} sin \frac{β}{2} cos \frac{γ}{2} . \\ 2^{\circ} . & cos α + cos β - cos γ = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2} + 2 sin^{2} \frac{γ}{2} - 1 = \\ = 2 sin \frac{γ}{2} cos \frac{α - β}{2} + 2 sin^{2} \frac{γ}{2} - 1 = 2 sin \frac{γ}{2} (cos \frac{α - β}{2} + cos \frac{α + β}{2}) - 1 = \\ = 4 cos \frac{α}{2} cos \frac{β}{2} sin \frac{γ}{2} - 1. \end{matrix}$

Beke István (Toldy Ferenc főreál VI. o. Bp. II.)

II. Megoldás.

1^{\circ}

α

β

γ

egy háromszög szögei, melynek oldalai

a

b

c

. Így

\begin{matrix} sin α + sin β - sin γ = \frac{2 t}{b c} + \frac{2 t}{c a} - \frac{2 t}{a b} = \frac{2 t (a + b - c)}{a b c} = \frac{4 t (s - c)}{a b c} . \end{matrix}

\begin{matrix} 4 sin \frac{α}{2} sin \frac{β}{2} cos \frac{γ}{2} = 4 \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{b c}} \sqrt[]{\frac{(s - c) (s - a)}{c a}} \sqrt[]{\frac{s (s - c)}{a - b}} = \frac{4 t (s - c)}{a b c} . \end{matrix}

Eszerint az egyenlőség igazolást nyert!

2^{\circ}

cos α = 2 cos^{2} \frac{α}{2} - 1

és analóg képletek alkalmazásával, továbbá ezeknek a háromszög oldalaival való kapcsolatukat figyelembe véve:

\begin{matrix} \begin{matrix} cos α + cos β - cos γ = 2 (cos^{2} \frac{α}{2} + cos^{2} \frac{β}{2} - cos^{2} \frac{γ}{2}) - 1 = \\ = 2 [\frac{s (s - a)}{b c} + \frac{s (s - b)}{c a} - \frac{s (s - c)}{a b}) - 1 = \\ = \frac{s}{a b c} [a (b + c - a) + b (c + a - b) - c (a + b - c)] - 1 = \\ = \frac{s [c^{2} - {(a - b)}^{2}]}{a b c} - 1 = \frac{4 s (s - a) (s - b)}{a b c} - 1. \end{matrix} \end{matrix}

Azonban:

\begin{matrix} 4 cos \frac{α}{2} cos \frac{β}{2} sin \frac{γ}{2} - 1 = 4 \sqrt[]{\frac{s (s - a)}{b c} \cdot \frac{s (s - b) (s - a)}{a b}} = \\ = \frac{4 s (s - a) (s - b)}{a b c} - 1 \end{matrix}

és így ezen egyenlőség is igazolva van.

Feldheim Ervin (Kölcsey Ferenc rg. VI. o. Bp. VI.)

Jegyzet. Azon megoldások, melyek a

\begin{matrix} sin α + sin β + sin γ = 4 cos \frac{α}{2} cos \frac{β}{2} cos \frac{γ}{2} \end{matrix}

összefüggésből indulnak ki, lényegileg az I.-vel egyeznek meg.