Kezdőlap


Feladat:	312. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakay B. , Bálint B. , Barok Gy. , Bauer J. , Beck M. , Beke I. , Bolgár Gy. , Budó Ágoston , Csiky J. , Csipkay Gy. , Dvorzsák Zs. , Eisnitz G. , Erdős I. , Erdős Pál , Erhardt Gy. , Farkas F. , Farkas I. , Farkas P. , Feldheim Ervin , Fodor L. , Führer P. , Gábor Gy. , Gerencsér I. , Goldfinger Gy. , Grünwald T. , Hapka I. , Holczinger I. , Horovitz F. , Kiss Gy. , Klein I. , Kohn T. , Kovács J. , Kőváry J. , Krausz Erzsébet , Kutasy J. , Ligeti M. , Lukács S. , Molnár József , Pajzs T. , Pánczél L. , Papp Gy. , Pomóthy D. , Radó György , Sámuel J. , Schlick B. , Schmidt I. , Sebők Gy. , Simon Á , Simonyi Gy. , Soos G. , Straubert J. , Szabó Piroska , Szalai Sándor , Szegedy Adrienne , Vági L. , Vámos I. , Vázsonyi S. , Vészi L. , Vidor E. , Zsendovics E.
Füzet:	1928/április, 230. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/február: 312. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A vegyes másodfokú egyenlet gyöke:

\begin{matrix} x = \frac{- 2 (a^{3} + 2 b^{3}) \pm \sqrt[]{4 {(a^{3} + 2 b^{3})}^{2} - 4 (a^{2} - 4 b^{2}) (a^{4} - b^{4})}}{2 (a^{2} - 4 b^{2})} . \end{matrix}

A négyzetgyökjel alatt álló kifejezés, ha

4

-t, mint közös tényezőt kiemeltük

\begin{matrix} {(a^{3} + 2 b^{3})}^{2} - (a^{2} - 4 b^{2}) (a^{4} - b^{4}) = \\ = a^{6} + & 4 a^{3} b^{3} + 4 b^{6} - (a^{6} - 4 a^{4} b^{2} - a^{2} b^{4} + 4 b^{6}) = a^{2} b^{2} {(2 a + b)}^{2} . \\ x = & \frac{- (a^{3} + 2 b^{3}) \pm a b (2 a + b)}{a^{2} - 4 b^{2}}, \\ x_{1} = \frac{- (a^{3} + 2 b^{3}) + a b (2 a + b)}{a^{2} - 4 b^{2}} & = \frac{(b^{2} - a^{2}) (a - 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)} = \frac{b^{2} - a^{2}}{a + 2 b}, \\ x_{2} = - \frac{(a^{3} + 2 b^{3}) + a b (2 a + b)}{a^{2} - 4 b^{2}} & = - \frac{(a^{2} + b^{2}) (a + 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)} = - \frac{a^{2} + b^{2}}{a - 2 b} . \end{matrix}

Feldheim Ervin (Kölcsey Ferenc rg. VI. o. Bp. VI.)

II. Megoldás. Az adott egyenletet a következő alakban írhatjuk:

\begin{matrix} a^{2} x^{2} + 2 a^{3} x + a^{4} = 4 b^{2} x^{2} - 4 b^{3} x + b^{4} \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} {(a x + a^{2})}^{2} = {(2 b x - b^{2})}^{2} . \end{matrix}

Négyzetgyökvonással:

\begin{matrix} a x + a^{2} = \pm (2 b x - b^{2}) . \end{matrix}

Ha a jobboldalon a

+

előjelt vesszük,

x_{1} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2 b - a}

; az ellenkező esetben

x_{2} =

= \frac{b^{2} - a^{2}}{2 b + a}

Molnár József (ref. rg. V. o. Csurgó)

Szalai Sándor (Berzsenyi Dániel rg. VI. o. Bp. V.), Radó György (kegyesrendi g. VI. o. Bp.)