Kezdőlap


Feladat:	285. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aschenbrier E. , Bauer J. , Beke I. , Bertin L. , Bónis Gy. , Buchsbaum L. , Budó Ágoston , Buzna V. , Csiky J. , Dvorzsák Zs. , Erdős P. , Feldheim E. , Fleischner L. , Freytag A. , Fürst H. , Gerencsér István , Gibolya T. , Goldfinger Gy. , Gyárfás I. , Hapka I. , Havas Gy. , Holczinger I. , Jánky Mária , Klein Gy. , Klein Imre (Bp.) , Kohn T. , Kovács T. , Láng S. , Liebermann J. , Ligeti M. , Lőw A. , Miklós L. , Nádor L. , Polevko S. , Radó György , Rasovszky E. , Sámuel J. , Schuster F. , Soos Géza , Szalai Sándor , Török I. , Vági L. , Valló J. , Vámos I.
Füzet:	1928/január, 143 - 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Háromszögek szerkesztése, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/november: 285. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Legyen $A D = 3 a$ , $A B = a$ és húzzunk $C$ -ből párhuzamost $A B$ -vel, mely $A D$ -t $E$ -ben metszi. $A E = B C = a$ , tehát $E D = C D = 2 a$ és $E C = A B = a$ , miből $C D E ▵$ és a trapéz is megszerkeszthető.
$2^{\circ}$ . $O B C ▵ \sim O A D ▵$ , (szögeik egyenlők), tehát $O B : O A = B C : A D = 1 : 3$ s így $O A = O B + A B = O B + a = 3 \cdot O B$ , azaz $O B = \frac{a}{2}$ , $O A = \frac{3 a}{2}$ . Hasonló számítassal $O C = a$ és $O D = 3 a$ adódik a keresett oldalakra. Ezek szerint $O B C$ és $O A D$ háromszögek egyenlőszárúak, az alapok $O B$ , illetve $O A$ . Legyenek az ezekhez tartozó magasságok: $C C_{1}$ és $D D_{1}$ ; $O C_{1} = C_{1} B = \frac{a}{4}$ és $O D_{1} = D_{1} A = \frac{3 a}{4}$ , tehát $C C_{1} = \sqrt[]{{\bar{B C}}^{2} = {\bar{B C}}_{1}^{2}} = \frac{a \sqrt[]{15}}{4}$ s ugyanígy $D D_{1} = \frac{3 a \sqrt[]{15}}{4}$ . A trapéz területe az $O A D$ és $O B C$ háromszögek területeinek különbsége:

\begin{matrix} t = \frac{O A \cdot D D_{1}}{2} - \frac{O B \cdot C C_{1}}{2} = \frac{9 a^{2} \sqrt[]{15}}{16} - \frac{a^{2} \sqrt[]{15}}{16} = \frac{a^{2} \sqrt[]{15}}{2} . \end{matrix}

Gerencsér István (kegyesrendi gimn. VI. o. Bp.)