Feladat: 263. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dvorzsák Zs. ,  Erdős P. ,  Faragó L. ,  Freytag A. ,  Holczinger I. ,  Radó György ,  Salkovits E. ,  Soos G. ,  Szalai Sándor ,  Takács T. ,  Zöld J. 
Füzet: 1927/november, 75 - 76. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenes, Mértani helyek, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1927/szeptember: 263. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Legyen M pont vetülete M1, N ponté N1. Az M1 pont felezi AP-t, N1 pedig PB-t. Tehát MN vetülete

M1N1=M1P+PN1=AP2+PB2=AB2=d2azaz constans.

2. MM1 az APM egyenlőoldalú háromszög magasságvonala, NN1 a PBN-é; tehát
MM1=AP32ésNN1=PB32.

 

MN felezőponlja O, ennek vetülete AB-n O1; de OO1 az MM1NN1 trapéz középvonala és így
OO1=MM1+NN12=12(AP+PB)32=AB34
azaz O pont távolsága AB-től állandóan ugyanakkora, t. i. az AB=d oldalú szabályos háromszög magasságának fele. Eszerint O pont mértani helye az AB-vel párhuzamos vonaldarab, melynek távolsága AB-től d34 és határoló pontjai az AB fölött rajzolt egyenlő oldalú háromszög oldalainak (AC és BC) felezőpontjai.
 

Radó György (kegyesrendi g. VI. o. Bp.)
 

I. Jegyzet. Kössük össze az ABC egyenlő oldalú háromszög C csúcsát a P ponttal. Minthogy CMPN idom parallelogramma, ennek CP átlója felezi az MN átlót, azaz MN felezőpontja O a CP-nek is felezőpontja. CP felezőpontja, ha P végigfut az AB-n, az AB-vel párhuzamos vonaldarabot írja le, mely felezi AC-t és BC-t.
Jegyzet. Egyes megoldásokban a következő gondolatmenet nyilvánul: a mértani hely 3 pontja ‐ speciális helyzetben ‐ egy egyenesbe esik, tehát ezen mértani hely csak egyenes vonal lehet. Így nem szabad következtetnünk, mert elképzelhetünk görbe vonalat, melynek valamely egyenessel 3 közös pontja lehet. Azt lehetett volna mondani, hogy ezen vonal nem lehet kör (sem ellipszis, sem hiperbola, sem parabola).