Feladat: 249. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beke I. ,  Blahó T. ,  Camhi S. ,  Erőss J. ,  Glosios T. ,  Grünwald Gy. ,  Gyárfás I. ,  Győri J. ,  Haidinger G. ,  Hajós Gy. ,  Händler Gy. ,  Jacobi A. ,  Jáver S. ,  Juvancz Ireneusz ,  Klein T. ,  Kollmann Jolán ,  Márkus L. ,  Nagy Gy. ,  Párducz N. ,  Pécsi Gizella ,  Radó Gy. ,  Rappaport D. ,  Schlégl Gy. ,  Soos Géza ,  Szegedy Adrienne ,  Székely Lilly ,  Ulmer R. ,  Vojtsek Imre ,  Walient P. ,  Zwirn Gy. 
Füzet: 1927/október, 42. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Magasságvonal, Beírt kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1927/május: 249. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A derékszögű háromszög befogói legyenek a és b, átfogója c. Ezek kiszámítására a következő három ismeretes összefüggés szolgál:

a2+b2=c2,(1)ab=chc,(2)a+b-c2=ϱ.(3)


(1)-ből és (2)-ből:
a2+b2+2ab=(a+b)2=c2+2chc.(4)
(3)-ból
a+b=2ϱ+c.(5)
Ha (5) alapján a+b-t (4)-be helyettesítjük:
(2ϱ+c)2=c2+2chcés innenc=2ϱ2h-2ϱ=502=25.
Most már (5)-ből
a+b=35és(2)-bőlab=300.
Eszerint a és b a
z2-35z+300=0
egyenlet gyökei: z1=20; z2=15. A keresett háromszög oldalai: 15, 20, 25.
 

Vojtsek Imre (egri áll. főreál VI. o.)
 

II. Megoldás. Az előbbi megoldásban szereplő (3) egyenlet helyett az
2t=ϱ(a+b+c)=chc
egyenletet használva és a numerikus értékeket helyettesítve:
a2+b2=c2,(1)ab=12c,(2)a+b=75c(3)



egyenletrendszerhez jutunk. (1)-ből és (2)-ből
(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+24c.
Tekintettel (3)-ra
49c225=c2+24cazaz;24(c2-25c)=0.

Innen: c1=0 és c2=25. Feladatunknak csak c=25 felel meg. Most már a és b kiszámítása úgy történhetik, mint az I. megoldásban.
 

Juvancz Ireneusz (Zrínyi Miklós rg. VI. o. Bp.)
 

Jegyzet. V. ö. a 282. feladattal.