Kezdőlap


Feladat:	249. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke I. , Blahó T. , Camhi S. , Erőss J. , Glosios T. , Grünwald Gy. , Gyárfás I. , Győri J. , Haidinger G. , Hajós Gy. , Händler Gy. , Jacobi A. , Jáver S. , Juvancz Ireneusz , Klein T. , Kollmann Jolán , Márkus L. , Nagy Gy. , Párducz N. , Pécsi Gizella , Radó Gy. , Rappaport D. , Schlégl Gy. , Soos Géza , Szegedy Adrienne , Székely Lilly , Ulmer R. , Vojtsek Imre , Walient P. , Zwirn Gy.
Füzet:	1927/október, 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Magasságvonal, Beírt kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/május: 249. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A derékszögű háromszög befogói legyenek $a$ és $b$ , átfogója $c$ . Ezek kiszámítására a következő három ismeretes összefüggés szolgál:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = c^{2}, & (1) \\ a b = c h_{c}, & (2) \\ \frac{a + b - c}{2} = ϱ . & (3) \end{matrix}

(1)-ből és (2)-ből:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + 2 a b = {(a + b)}^{2} = c^{2} + 2 c h_{c} . \end{matrix}

(4)

(3)-ból

\begin{matrix} a + b = 2 ϱ + c . \end{matrix}

(5)

Ha (5) alapján

a + b

-t (4)-be helyettesítjük:

\begin{matrix} {(2 ϱ + c)}^{2} = c^{2} + 2 c h_{c} és innen c = \frac{2 ϱ^{2}}{h - 2 ϱ} = \frac{50}{2} = 25. \end{matrix}

Most már (5)-ből

\begin{matrix} a + b = 35 és (2) -ből a b = 300. \end{matrix}

Eszerint

a

és

b

\begin{matrix} z^{2} - 35 z + 300 = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei:

z_{1} = 20

;

z_{2} = 15

. A keresett háromszög oldalai: 15, 20, 25.

Vojtsek Imre (egri áll. főreál VI. o.)

II. Megoldás. Az előbbi megoldásban szereplő (3) egyenlet helyett az

\begin{matrix} 2 t = ϱ (a + b + c) = c h_{c} \end{matrix}

egyenletet használva és a numerikus értékeket helyettesítve:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = c^{2}, & (1) \\ a b = 12 c, & (2) \\ a + b = \frac{7}{5} c & (3) \end{matrix}

egyenletrendszerhez jutunk. (1)-ből és (2)-ből

\begin{matrix} {(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b = c^{2} + 24 c . \end{matrix}

Tekintettel (3)-ra

\begin{matrix} \frac{49 c^{2}}{25} = c^{2} + 24 c azaz; 24 (c^{2} - 25 c) = 0. \end{matrix}

Innen:

c_{1} = 0

és

c_{2} = 25

. Feladatunknak csak

c = 25

felel meg. Most már

a

és

b

kiszámítása úgy történhetik, mint az I. megoldásban.

Juvancz Ireneusz (Zrínyi Miklós rg. VI. o. Bp.)

Jegyzet. V. ö. a 282. feladattal.