Kezdőlap


Feladat:	232. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blahó T. , Camhi S. , Csalán E. , Erdős Pál , Hajós György , Jacobi Arisztid , Klein Eszter , Kozma A. , Molnár L. , Párducz N. , Scheiber P. , Sréter J. , Szalai Sándor , Takács L. , Wachsberger Márta , Walient P. , Wolkóber L.
Füzet:	1927/szeptember, 3 - 4. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/április: 232. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $d$ -vel osztható számok $d$ , $2 d$ , $...$ , $k d$ , $...$ sorozatából $n$ -jegyűek azok a többszörösök, melyekre fennáll:

\begin{matrix} 10^{n - 1} \leq k d < 10^{n} . \end{matrix}

(1)

Feladatunk tehát meghatározni

k

azon értékeinek számát, melyek mellett (1) teljesül.
Ha

k

legkisebb ily értéke

m + 1

, legnagyobb pedig

M

, azaz, ha

\begin{matrix} m d < 10^{n - 1} & \leq (m + 1) d, & (2) \\ és & M d < 10^{n} & \leq (M + 1) d, & (3) \end{matrix}

akkor nyilván

M - m

n

-jegyű többszörösök keresett száma.
(2) és (3) egyenlőtlenségek

d

-vel való osztásából nyerjük az

\begin{matrix} m < \frac{10^{n - 1}}{d} & \leq m + 1, & (2a) \\ és & M < \frac{10^{n}}{d} & \leq M + 1 & (3a) \end{matrix}

egyenlőtlenségeket, melyekből látható, hogy

m

és

M

vagy a

10^{n - 1} : d

illetve

10^{n} : d

osztásnál fellépő hányadosok egész részei, vagy az azoknál 1-gyel kisebb számok (t. i. ha az

=

jel áll fenn). Minthogy az egyenlőség jele (2a) és (3a)-ban egyidejűleg lép fel (t. i. ha

10^{n - 1}

osztható

d

-vel), az

M - m

különbség értéke mindkét esetben ugyanaz. Ha tehát

E (x)

jelenti az

x

szám egész részét,

d

n

-jegyű többszöröseinek száma:

\begin{matrix} E (\frac{10^{n}}{d}) - E (\frac{10^{n - 1}}{d}) . \end{matrix}

Jacobi Arisztid (áll. Berzsenyi Dániel fg. VI. o. Bp.)

Jegyzet. Lehetséges, hogy

10^{n}

osztható

d

-vel,

10^{n - 1}

ellenben nem; azaz

d = a \cdot 10^{n - 1}

, hol

a = 2, 5, 10

. Ebben az esetben

M - 1 = E (\frac{10^{n}}{d}) - 1

n

-jegyű

d

-többszörös van. (Pl. 2000-nek az 1000 és 10000 között 4 többszöröse van.)