Kezdőlap


Feladat:	231. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Boschán Anna , Erdős P. , Freiberger L. , Gelberger P. , Grünwald Gy. , Győri J. , Hajós György , Jacobi A. , Lindtner Pál , Márkus L. , Párducz N. , Polacsek E. , Sréter J. , Szolovits D. , Ulmer R. , Waldapfel L. , Weisz A. , Zwirn Gy.
Füzet:	1927/május, 277. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/március: 231. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. I. A $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ismert összefüggésben helyettesítsük az adott egyenlet alapján pl. $cos x$ -t:

\begin{matrix} cos x = k - sin x . \end{matrix}

Egyenletünk négyzetreemelés és rendezés után így alakul:

\begin{matrix} f (sin x) \equiv 2 sin^{2} x - 2 k sin x + k^{2} - 1 = 0. \end{matrix}

(1)

Megoldás akkor van, ha

1^{\circ}

D \geq 0

és ha

2^{\circ}

: a gyökök

- 1

és

+ 1

közé esnek.

1^{\circ}

D \equiv 4 k^{2} - 8 (k^{2} - 1) = 4 (2 - k^{2}) \geq 0

, ha

k^{2} \leq 2

, azaz

| k | \leq \sqrt[]{2}

. Ekkor a gyökök félösszege

\frac{k}{2}

és mivel

| k | \leq \sqrt[]{2}

, azért

- 1 < \frac{k}{2} < + 1

; másrészt

2^{\circ}

f (- 1) = {(k + 1)}^{2} \geq 0

;

f (\frac{k}{2}) = \frac{k^{2} - 2}{2} \leq 0

;

f (+ 1) = {(k - 1)}^{2} \geq 0

, tehát az (1) egyenlet mindkét gyöke

- 1

és

+ 1

között van. ‐ Eszerint (1) egyenlet s így az adott is akkor oldható meg, ha:

- \sqrt[]{2} \leq k \leq + \sqrt[]{2}

.
II. A megadott

k

értékkel

D = 4 - 2 \sqrt[]{3} = {(\sqrt[]{3} - 1)}^{2} > 0

, tehát két egymástól különböző valós gyököt kapunk. A megadott értékkel (1) így alakul:

\begin{matrix} 4 sin^{2} x - 2 (\sqrt[]{3} + 1) sin x + \sqrt[]{3} = 0 \end{matrix}

(1a)

és innen

\begin{matrix} sin x_{1} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}, ill. sin x_{2} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Ezeket helyettesítve az adott egyenletbe:

\begin{matrix} cos x_{1} = \frac{1}{2}, ill. cos x_{2} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

sin x_{1}

és

cos x_{1}

egyértelműen határozzák meg

0^{\circ}

és

360^{\circ}

között

x_{1} = 30^{\circ}

-ot;

sin x_{2}

és

cos x_{2}

pedig

x_{2} = 60^{\circ}

-ot.

Lindtner Pál (ózdi rg. VI. o.)

II. Megoldás. A pótszög függvényei és a szögfüggvények összegezési tétele alapján az adott egyenlet így is írható:

\begin{matrix} sin x + cos x = sin x + sin (90^{\circ} - x) = 2 sin 45^{\circ} cos (45^{\circ} - x) = k, \end{matrix}

honnan

\begin{matrix} cos (45^{\circ} - x) = \frac{k}{2 sin 45^{\circ}} . \end{matrix}

A feladat megoldható, ha

\begin{matrix} | \frac{k}{\sqrt[]{2}} | \leq 1, azaz ha: - \sqrt[]{2} \leq k \leq + \sqrt[]{2} . \end{matrix}

A megadott

k

-értékkel

\begin{matrix} arc cos \frac{1 + \sqrt[]{3}}{2 \sqrt[]{2}} = \pm 15^{\circ} s így x = 45^{\circ} \mp 15^{\circ}; x_{1} = 30^{\circ}, x_{2} = 60^{\circ} . \end{matrix}

Hajós György (kegyesrendi g. VI. o. Bp.)